📂抽象代数

抽象代数学におけるp-群

定義 ¹

有限群 $G$ の単位元が $e$ だとするとき、$g \in G$ が $g^{n} = e$ を満たす最小の $n \in \mathbb{N}$ について、$|g| = n$ と表される。すべての $g \in G$ と与えられた素数 $p$ に対して、$|g| = p^{m}$ を満たす整数 $m \ge 0$ が存在するとき、$G$ を $p$-群^$p$-groupと呼ぶ。

説明

$|G| = p^{m}$ ならば $p$-群であり、次の定理が知られている。

定理

$X_{G} : = \left\{ x \in X \ | \ gx = x , g \in G \right\}$ は作用に無関係な集合とし、$\displaystyle X_{G} = \bigcap_{ g \in G} X_{g}$ とする。有限群 $G$ が $|G| = p^{m}$ であり、$X$ が $G$-集合ならば $$|X| \equiv |X_{G}| \pmod{p}$$

証明

$X$ が $r$ 個の軌道を持っているとする。各軌道から取り出した元を $x_{1} , \cdots , x_{r}$ とすると $$|X| = \sum_{i=1}^{r} | G x_{i} |$$ $s = |X_{G}|$ とすると $0 \le s \le r$ であり $$|X| = |X_{G}| + \sum_{i=s+1}^{r} | G x_{i} |$$

等方部分群の性質: $X$ が $G$-集合ならば $|Gx| = ( G : G_{x})$。$G$ が有限群ならば $|Gx|$ は $|G|$ の約数だ。

$|G| = p^{m}$ なので、その約数である $|Gx_{i}|$ は $p$ のべき乗で表されるしかない。だから、ある $k \in \mathbb{Z}$ に対して $$|X| = |X_{G}| + p k$$ そして、合同の定義により、次のことが成り立つ。 $$|X| \equiv |X_{G}| \pmod{p}$$

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