位相数学における関数空間 📂位相幾何学

位相数学における関数空間

定義 ¹

位相空間 $X$ と $Y$ に対して次のように定義された積空間 $Y^{X}$ を関数空間という。 $Y^{X} : = \prod_{x \in X} Y = \left\{ f \ | \ f : X \to Y \text{ is a function} \right\}$

関数空間の位相として次がある:

$x \in X$ と $Y$ の開集合 $U$ に対して $S (x , U) = \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f(x) \in U \right\}$ としよう。部分基底 $\left\{ S(x,U) \ | \ x \in X , U \subset Y \right\}$ によって生成される $Y^{X}$ の位相をポイント-オープン位相という。
コンパクト集合 $K \subset X$ と $Y$ の開集合 $U$ に対して $S (K , U) = \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f(K) \subset U \right\}$ としよう。部分基底 $\left\{ S(K,U) \ | \ K \subset X , U \subset Y \right\}$ によって生成される $Y^{X}$ の位相をコンパクト-オープン位相という。

$(Y,d)$ を距離空間としよう。

コンパクト集合 $K \subset X$ と $\varepsilon > 0$ に対して $B_{K} (f, \epsilon) = \left\{ g \in Y^{X} \ \left| \ \sup_{x \in K} \left\{ d(f(x),g(x)) \right\} < \varepsilon \right. \right\}$ としよう。基底 $\left\{ B_{K} (f, \varepsilon ) \ | \ K \subset X , \varepsilon > 0 \right\}$ によって生成される $Y^{X}$ の位相をコンパクト収束位相という。
一様距離 $\overline{ \rho } (f,g) : = \sup_{x \in X} \left\{ \min \left\{ d(f(x) , g(x) ) , 1 \right\} \right\}$ によって生成される距離空間 $(Y^{X} , \overline{ \rho } )$ の位相を一様位相という。

$\left\{ f_{n} : X \to Y \right\}$ を $Y^{X}$ での数列とし、定義域を $K \subset X$ に限定した関数を $f_{n} |_{K} : K \to Y$ と表すことにしよう。

[7]: $\left\{ f_{n} \right\}$ が $Y^{X}$ のポイント-オープン位相に属する $f$ に収束する場合、全ての $x \in X$ に対して $f_{n} (x)$ は $f(x)$ に収束する。
[8]: $\left\{ f_{n} \right\}$ が $Y^{X}$ のコンパクト収束位相に属する $f$ に収束する場合、全てのコンパクト $K \subset X$ に対して $f_{n} |_{K}$ は $f |_{K}$ に一様に収束する。

定義域が位相空間 $X$ で値域が距離空間 $Y$ の連続関数の集合を $C(X,Y) := \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f \text{ is continuous} \right\}$ とし、 $C(X,Y)$ を $Y^{X}$ の部分空間としよう。

[9]: $C(X,Y)$ のコンパクト-オープン位相とコンパクト収束位相は同じである。
[10]: $C(X,Y)$ のコンパクト収束位相は $Y$ の距離関数に依存しない。
[11]: $C(X,Y)$ の数列 $\left\{ f_{n} \right\}$ が $f \in Y^{X}$ に収束すれば $f : X \to Y$ は連続関数である。

特に $C(X, \mathbb{R})$ を $C(X)$ のように示し、特に $X$ が区間の時、すなわち $X=(a,b)$ 、 $X=[a,b]$ の時はそれぞれ $C(a,b)$ 、 $C[a,b]$ とも示される。

要約すると、ポイント-オープン位相は小さく、一様位相は大きいと言える。

関数が一様連続であることを示すのに役立てられる。

一般位相を解析学の一般化と見た時、非常に重要な事実である。