📂抽象代数

第三同型定理の証明

定理 ¹

$G,G'$を群としよう。

• 第一同型定理: 準同型写像 $\phi : G \to G'$が存在する場合 $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$
• 第二同型定理: $H \le G$ そして $N \triangleleft G$ の場合 $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$
• 第三同型定理: $H , K \triangleleft G$ そして $K \leq H$ の場合 $$ G/H \simeq (G/K) / (H/K) $$

同型定理^{isomorphism theorem}は代数学者のエミー・ネーターによって証明された、上の独立した三つの定理を指す。

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• $\ker$ はカーネルです。
• $N \triangleleft G$ は$N$が$G$の正規部分群であることを意味する。

説明

同型定理は代数学者エミー・ネーターによって証明された、上の独立した三つの定理を指す。第三同型定理での商群の表現を少し変えると $$ {{G} \over {H}} \simeq {{ {{G} \over {K}} } \over { {{H} \over {K}} }} $$ これは分子と分母に$\displaystyle {{1} \over {K}}$を掛けることに似ている。

証明

第二同型定理の証明方法はほぼ同じで、$\phi$の定義と$H$が核であることを示す部分が異なる。$\phi : G \to (G/K) / (H/K)$を$\phi (g) = gK (H / K)$として定義しよう。

$\phi$が標準写像であり、$H$が$\ker \phi$であることを示した後、第一同型定理を使えば証明は完了する。

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パート 1. $\phi$ は関数だ。

$x,y \in G$に対して $$ \begin{align*} && x= y \\ \implies& x K (H / K) = y K (H / K) \\ \implies& \phi (x) = \phi (y) \end{align*} $$ よって、$\phi$は関数だ。

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パート 2. $\phi$は準同型写像だ。

$x,y \in G$に対して $$ \begin{align*} \phi ( xy ) =& (xyK) ( H / K) \\ =& [ ( a K ) ( b K) ] ( H / K) \\ =& [ (aK) (H / K)] [ (bK) (H / K) ] \\ =& \phi ( x ) \phi ( y ) \end{align*} $$ よって、$\phi$は準同型写像だ。

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パート 3. $\phi$は全射だ。

全ての$gK (H / N) \in (G / K) / (H / K )$に対して $$ \phi ( g ) = g K ( H / K ) $$ を満たす$g \in G$が存在するので、$\phi$は全射だ。

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パート 4. $H = \ker ( \phi )$

$( \subset )$ $h \in H$なら$\phi (h) = h K ( H / K ) = K ( H / K )$なので $$ h \in \ker ( \phi ) $$

$( \supset )$ $h \in \ker ( \phi)$なら$\phi (h) = K ( H / K ) = hK (H / K )$から$hK = K \in ( H / K )$なので $$ h \in H $$

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パート 5.

第一同型定理: 準同型写像 $\phi : G \to G'$が存在する場合、$G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$

$\phi : G \to (G/K) / (H/K)$は準同型写像であり、全射なので $$ \phi ( G ) = (G/K) / (H/K) $$ その一方で、$H = \ker ( \phi )$があるので、第一同型定理により、次のことが成り立つ。 $$ G/H \simeq (G/K) / (H/K) $$

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