理想気体の断熱膨張
定理
物質量が$1$で、圧力が$p$、体積が$V$である断熱膨張をする理想気体の系では、$p V^{\gamma}$は定数である。
この時、$\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}}$は等圧熱容量と等容熱容量の比率である。
説明
断熱膨張とは、熱エネルギーが変わらない条件での膨張を言う。$\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}}$の物理的な意味は特にない。
証明
$$ d U = \delta Q + \delta W $$
熱力学第一法則により、$dU(T,V)$は全微分であり、以下が成り立つ。
$$ dU = \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV $$
$$ \left< E_{K} \right> = \dfrac{3}{2} k_{B} T $$
気体分子の平均運動エネルギーが上記のようになるので、全エネルギーはこれに分子数$N$を掛けたものと同じである。
$$ U = \dfrac{3}{2} N K_{B} T $$
したがって、$\dfrac{\partial U}{\partial V} = 0$であり、そして$C_{V} = \dfrac{\partial U}{\partial T}$より、$dU = C_{V} dT$が成立する。また、熱エネルギーが変わらないので、$\delta Q = 0$である。これを熱力学第一法則に代入すると、次を得る。
$$ C_{V} dT dU = \delta Q + \delta W = \delta W \implies C_{V} dT = \delta W $$
しかし、$\delta W = - p d V$が成立し、物質量が$n=1$の気体である場合、理想気体の方程式は$p = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{RT}{V}$である。したがって、次の式を得る。
$$ \begin{align*} C_{V} dT =& \delta W \\ =& -pdV \\ =& - \dfrac{RT}{V} dV \end{align*} $$
ここで、$\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}} = 1+ \dfrac{R}{C_{V}}$$\implies C_{V}=\dfrac{R}{\gamma -1 }$であるため、次を得る。
$$ \begin{align*} & C_{V} dT =& - \dfrac{RT}{V} dV \\ \implies && \dfrac{R}{\gamma -1 }dT =& -\dfrac{RT}{V} dV \\ \implies && \dfrac{1}{T}dT =& \dfrac{1-\gamma}{V} dV \end{align*} $$
膨張前の体積と温度を$V_{1}, T_{1}$、膨張後の体積と温度を$V_{2}, T_{2}$として、両辺を積分すると、次のようになる。
$$ \begin{align*} & \int _{T_{1}} ^{T_{2}}\dfrac{1}{T}dT =& \int _{V_{1}} ^{V_{2}}\dfrac{1-\gamma}{V} dV \\ \implies && \ln \dfrac{T_{2}}{T_{1}} =& (1 - \gamma) \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}} \\ \implies && \dfrac{T_{2}}{T_{1}} =& \left( \dfrac{V_{2}}{V_{1}} \right)^{1-\gamma} \\ \implies && T_{2} V_{2}^{\gamma - 1} =& T_{1} V_{1 }^{\gamma - 1} \end{align*} $$
したがって、$TV^{\gamma -1}$は定数である。理想気体の法則では、$T = \dfrac{pV}{R}$であるため、次を得る。
$$ TV^{\gamma -1} = \dfrac{pV}{R} \cdot V^{\gamma -1} = pV^{\gamma} $$
したがって、$pV^{\gamma}$は定数である。
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