📂熱物理学

理想気体の等温膨張

公式

モル数が$1$で等温膨張する理想気体の系では、熱エネルギーが$Q$、温度が$T$、膨張前の体積を$V_{1}$、膨張後の体積を$V_{2}$とするとき、次の式が成り立つ。

$$\Delta Q = RT \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}}$$

説明

等温膨張とは、温度が変わらない条件下での膨張のことを言う。このとき、熱エネルギーの変化は便利なことに体積の変化だけを使って求められる。とりあえず、膨張なので$V_{2} > V_{1}$になり、$\Delta Q > 0$から熱エネルギーは増加して直感と一致する。

証明

熱力学第一法則

$$d U = \delta Q + \delta W$$

熱力学第一法則によると$dU(T,V)$は完全微分で、次が成り立つ。

$$dU = \dfrac{\partial U}{\partial T} dT + \dfrac{\partial U}{\partial V} dV$$

気体分子の平均運動エネルギー

$$\left< E_{K} \right> = \dfrac{3}{2} k_{B} T$$

気体分子の平均運動エネルギーが上述の通りであり、全エネルギーはこれに分子数$N$を掛けたものと同じだ。

$$U = \dfrac{3}{2} N K_{B} T$$

従って、$\dfrac{\partial U}{\partial V} = 0$を得る。そして$\displaystyle C_{V} = \dfrac{\partial U}{\partial T}$(../631)であるから$dU = C_{V} dT$が成り立つ。また、温度は変わらないので次が成り立つ。

$$\Delta T = 0 \implies dT = 0 \implies dU = C_{V} dT =0$$

これを熱力学第一法則に挿入すると、次を得る。

$$0 = \delta Q + \delta W \implies \delta Q = - \delta W$$

しかし、$\delta W = - p d V$(../629)が成り立つので、次の式を得る。

$$\Delta Q = \int \delta Q = - \int \delta W = \int_{V_{1} }^{V_{2}} p dV$$

モル数が$n=1$の気体の場合、理想気体の方程式は$p = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{RT}{V}$である。これを代入すると、次のようになる。

$$\Delta Q = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \dfrac{RT}{V} dV = RT \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}}$$

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