幾何分布の平均と分散
公式
$X \sim \text{Geo} (p)$ 面積 $$ E(X) = {{ 1 } \over { p }} \\ \operatorname{Var}(X) = {{ 1-p } \over { p^{2} }} $$
導出
幾何分布の平均と分散は、思うほど簡単には求められない。このポストでは、有益ながらも面白い二つの証明を紹介する。
幾何分布の定義$p \in (0,1]$によれば、以下のような確率質量関数を持つ離散確率分布を幾何分布という。 $$ p(x) = p (1 - p)^{x-1} \qquad , x = 1 , 2, 3, \cdots $$
第一の方法
戦略：等比級数の公式と微分を使う。
平均
$$ E(X)=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ xp { (1-p) }^{ x-1 } } $$ $\displaystyle f(p): =\sum _{ x=0 }^{ \infty }{ { (1-p) }^{ x } }$ とおくと $$ f(p)=\frac { 1 }{ 1-(1-p) }=\frac { 1 }{ p } $$ $p$に対して微分すると、等比級数の公式により $$ f '(p)=-\frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } $$ 一方で、等比級数をそのまま微分すると $$ f ' (p)=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ {-x { (1-p) }^{ x-1 } } } $$ であり、 $$ \begin{align*} & -\frac { 1 }{ { p }^{ 2 } }=-\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ x { (1-p) }^{ x-1 } } \\ \implies& \frac { 1 }{ p }=p\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ x { (1-p) }^{ x-1 } } \\ \implies& \frac { 1 }{ p }=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ xp { (1-p) }^{ x-1 } }=E(X) \end{align*} $$ 従って$\displaystyle E(X)=\frac { 1 }{ p }$
■
分散
$$ V(X)=E({ X }^{ 2 })-{ {E(X)} }^{ 2 }=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ { x^ 2} { p { (1-p) }^{ x-1 } }-\frac { 1 }{ { p }^{ 2 } } } $$ 従って$\displaystyle E({ X }^{ 2 })=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ { x^2 }{ p { (1-p) }^{ x-1 } } }$を求めれば良い。
同様に$\displaystyle f(p) :=\sum _{ x=0 }^{ \infty }{ { (1-p) }^{ x } }$とおくと $$ f(p)=\frac { 1 }{ 1-(1-p) }=\frac { 1 }{ p } \\ f '(p) = - \frac { 1 }{ p^{2} } \\ f ''(p)=\frac { 2 }{ { p }^{ 3 } } $$ 一方で、$\displaystyle f ''(p)=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ x(x-1) { (1-p) }^{ x-2 } }$でもあるので $$ \begin{align*} & \frac { 2 }{ { p }^{ 3 } }=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ x(x-1) { (1-p) }^{ x-2 } } \\ \implies& \frac { 2 }{ { p }^{ 3 } }=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ { x^2 } { { (1-p) }^{ x-2 } }-\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ x { (1-p) }^{ x-2 } } } \\ \implies& p\frac { 2 }{ { p }^{ 3 } }=p\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ { x^2 } { { (1-p) }^{ x-2 } }-p\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ x { (1-p) }^{ x-2 } } } \\ \implies& \frac { 2 }{ { p }^{ 2 } }=\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ { x^2 } { p { (1-p) }^{ x-2 } }-\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ xp { (1-p) }^{ x-2 } } } \\ \implies& \frac { 2 }{ { p }^{ 2 } }=\frac { 1 }{ 1-p }\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ { x^2 } { p { (1-p) }^{ x-1 } }-\frac { 1 }{ 1-p }\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ xp { (1-p) }^{ x-1 } } } \\ \implies& \frac { 2(1-p) }{ { p }^{ 2 } }=E({ X }^{ 2 })-\frac { 1 }{ p } \\ \implies& E({ X }^{ 2 })=\frac { 2-p }{ { p }^{ 2 } } \end{align*} $$ 従って$\displaystyle V(X)=\frac { 1-p }{ { p }^{ 2 } }$
■
第二の方法
戦略：幾何分布の無記憶性を用いる。複雑な式を避けて言葉で済ます感じだが、人によってはむしろ難しく感じるかもしれない。
平均
$$ E(X)=1 \cdot P(\text{ 첫번째 시행에서 성공 })+E(Y+1)\cdot P( \text{첫번째 시행에서 실패}) $$ 期待値の定義により、初回が成功する確率とその時の試行回数$1$、初回が失敗する確率とこの場合の期待値$E(Y+1)$の積を加えたものが期待値$E(X)$になる。もちろん、ここで登場した$Y$は$X$と同じように$\text{Geo} (p)$に従う。初回が成功しても失敗しても、幾何分布は無記憶性を持つので、始めからやり直し、$Y$に$1$を別に加える調整を行ったのである。再び綺麗に書くと次のようになる。 $$ E(X)=1\cdot p+E(Y+1)\cdot (1-p) $$ しかし、$E(Y+1)$は$E(Y+1)=E(Y)+E(1)=E(Y)+1$で表せるし、$X \sim \text{Geo} (p)$であり$Y \sim \text{Geo} (p)$なので $$ E(Y)=E(X) $$ $\displaystyle E(X)=p+{E(X)+1}(1-p)$を$E(X)$に対して整理すると $$ E(X)=\frac { 1 }{ p } $$
■
分散
$$ \begin{align*} E({ X }^{ 2 }) =& 1\cdot p+E({ (Y+1) }^{ 2 })\cdot (1-p) \\ &=p+{E({ X }^{ 2 })+2E(X)+1}(1-p) \\ &=p+E({ X }^{ 2 })+2E(X)+1-pE({ X }^{ 2 })-2pE(X)-p \end{align*} $$ 綺麗に整理すると $$ 0=2E(X)+1-pE({ X }^{ 2 })-2pE(X) $$ $2$次のモーメントを二項展開すると $$ \begin{align*} pE({ X }^{ 2 }) =& 2(1-p)E(X)+1 \\ &=2(1-p)\frac { 1 }{ p }+1 \\ =& \frac { 2-p }{ p } \end{align*} $$ 両辺を$p$で割ると $$ E({ X }^{ 2 })=\frac { 2-p }{ { p }^{ 2 } } $$ 従って$\displaystyle V(X)=\frac { 1-p }{ { p }^{ 2 } }$
■