📂熱物理学

気体分子の平均運動エネルギー

式¹

温度が$T$の系での気体分子の平均運動エネルギーは次の通りだ。

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{3} \over {2}} k_{B} T $$

説明

気体分子一つ一つの運動エネルギーを計算して平均を取るのは非効率的だけでなく、実際には不可能だ。しかし、統計的に導かれたこの式によれば、運動エネルギーは温度のみに依存し、簡単に得られるようになる。定数倍が$\dfrac{3}{2}$というように奇妙に現れる理由は、我々が住んでいる世界を3次元と仮定しているからだ。この直感的理解に基づく方法が導出1で、式的に一発で式を導くのが導出2だ。どちらの方法も本質的には同じことを言っているが、マクスウェル分布の導出過程を理解していればどちらも簡単で、理解していなければどちらも難しいだろう。

導出

上述した通り、導出方法の本質は同じだが、導出1は1次元での結果から3次元の結果を導くことで、$3$が導出過程でなぜ分母になるかがよく分かる。導出2は3次元で一度に計算する。

導出1

気体分子の質量が$m$で速度が$v$ならば、運動エネルギーは$E_{K} = \frac{1}{2} m v^{2}$で、平均を取ると次の通り。

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{1} \over {2}} m \left\langle v^{2} \right\rangle $$

$v = (v_{x} , v_{y} , v_{z})$とすると、期待値は線形であるため、次の通り。

$$ \left\langle v^{2} \right\rangle = \left\langle v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} \right\rangle = \left\langle v_{x}^{2} \right\rangle + \left\langle v_{y}^{2} \right\rangle + \left\langle v_{z}^{2} \right\rangle $$

気体分子の速度は、$x$軸に対して次のような確率密度関数が与えられた分布に従う。

$$ g(v_{x}) = \sqrt{ {m} \over {2 \pi k_{B} T } } e^{ - {{m v_{x}^{2} } \over {2 k_{B} T}} } $$

したがって、期待値を計算すると次の通り。

$$ \left\langle v_{x}^{2} \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} v_{x}^{2} g(v_{x}) dv_{x} = {{k_{B} T } \over {m}} $$

したがって、3次元について計算すると次の通り。

$$ \left\langle v^{2} \right\rangle = \left\langle v_{x}^{2} \right\rangle + \left\langle v_{y}^{2} \right\rangle + \left\langle v_{z}^{2} \right\rangle = {{k_{B} T } \over {m}} + {{k_{B} T } \over {m}} + {{k_{B} T } \over {m}} = {{3k_{B} T } \over {m}} $$

したがって、運動エネルギーの期待値を求めると次の通り。

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{1} \over {2}} m \left\langle v^{2} \right\rangle = {{1} \over {2}} m {{3k_{B} T } \over {m}} = {{3} \over {2}} k_{B} T $$

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導出2

気体分子の質量が$m$で速度が$v$ならば、運動エネルギーは$E_{K} = \frac{1}{2} m v^{2}$で、平均を取ると次の通り。

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{1} \over {2}} m \left\langle v^{2} \right\rangle $$

気体分子の速度は確率密度関数が$f(v) = \dfrac{4}{\sqrt{ \pi }} \left( \dfrac{m}{2 k_{B} T} \right)^{\frac{3}{2}} v^{2} e^{-\frac{mv^{2}}{2k_{B}} }$で与えられたマクスウェル分布に従うため、期待値を計算すると次の通り。

$$ \left\langle v^{2} \right\rangle = \int_{0}^{\infty} v^{2} f(v) dv = {{3k_{B} T } \over {m}} $$

したがって、平均運動エネルギーは次の通り。

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{1} \over {2}} m \left\langle v^{2} \right\rangle = {{1} \over {2}} m {{3k_{B} T } \over {m}} = {{3} \over {2}} k_{B} T $$

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特に、速度の平方根は$v_{\text{rms}} := \sqrt{ \left\langle v^{2} \right\rangle } = \sqrt{ \dfrac{3k_{B} T}{m} }$のように表されることを覚えておく。