アレクサンダー部分基底定理の証明
定理
$X$を位相空間とする。
$X$はコンパクトである。$X$のすべての開被覆が有限部分被覆を持つようにする、$X$のメンバーで構成されたある部分基底 $\mathscr{S}$が存在する。
説明
コンパクトの重要性は言うまでもない。
この定理はもともとアレクサンダーの先生が基底について証明しようとしたものだった。しかし、基底については証明できず、アレクサンダーが部分基底について完成させたという。
正直に言って、証明は覚えるには長くて複雑だが、かなり独創的で一度は自分でやってみる価値がある。
証明
$( \implies )$
$\mathscr{S}$は、$X$の位相の部分集合なので自明だ。
$( \impliedby )$
パート 1.
$X$がコンパクトではないと仮定する。
$\mathscr{C}$を$X$が有限部分被覆を持たない開被覆の集合とすると、$X$がコンパクトではないと仮定したので$\mathscr{C} \ne \emptyset$である。全ての開被覆$C \in \mathscr{C}$の中から、自分自身以外の上位集合がないものだけを選んで新しい集合$\displaystyle \mathscr{O} : = \bigcup C$を構成する。このような集合$\mathscr{O}$を構成できることは選択公理によって保証されている。
- 例えば$\left\{ \left\{ 1 \right\} , \left\{ 2 \right\} , \left\{ 3 \right\} , \left\{ 1, 3 \right\} \right\}$であれば、$\left\{ \left\{ 2 \right\}, \left\{ 1, 3 \right\} \right\}$のように「一部で最も大きい集合」を集めたことになる。
パート 2. 開集合 $U_{1} , \cdots , U_{n} \subset X$ に対して $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} U_{i} \subset O_{0}$ を満たす $O_{0} \in \mathscr{O}$ が存在する場合、$U_{i_{0}} \subset \mathscr{O}$ を満たす $i_{0}$ が存在することを示す。
ある$O_{0}$に対して$U_{1} \cap U_{2} \subset O_{0}$を満たす開集合$U_{1}$と$U_{2}$を考える。ここで、 $$ U_{1} \notin \mathscr{O} \\ U_{2} \notin \mathscr{O} $$ と仮定する。
$\mathscr{O}$の定義から、$\mathscr{C}$の部分的に最も大きい開被覆を集めたものだから、 $$ \mathscr{O} \cup \left\{ U_{1} \right\} \notin \mathscr{C} \\ \mathscr{O} \cup \left\{ U_{2} \right\} \notin \mathscr{C} $$ でなければならない。つまり$\mathscr{O} \cup \left\{ U_{1} \right\}$と$\mathscr{O} \cup \left\{ U_{2} \right\}$は$X$を被覆する有限部分被覆を持っているということで、それぞれ $$ \left\{ O_{1} , \cdots , O_{m} , U_{1} \right\} \subset \mathscr{O} \cup \left\{ U_{1} \right\} \\ \left\{ O_{1}’ , \cdots , O_{l}’ , U_{2} \right\} \subset \mathscr{O} \cup \left\{ U_{2} \right\} $$ とすると、 $$ \begin{align*} X \subset& X \cap X \\ \subset& \left( \left( \bigcup_{i=1}^{m} O_{i} \right) \cup U_{1} \right) \cap \left( \left( \bigcup_{i=1}^{l} O_{i} ' \right) \cup U_{2} \right) \\ \subset& \left[ \left( \bigcup_{i=1}^{m} O_{i} \right) \cap \left( \bigcup_{i=1}^{l} O_{i} ' \right) \right] \cup \left( U_{1} \cap U_{2} \right) \end{align*} $$ しかし$U_{1} \cap U_{2} \subset O_{0}$としたので$\left\{ O_{1} , \cdots , O_{m} , O_{1}’ , \cdots , O_{l} , O_{0} \right\} \in \mathscr{O}$は$X$の有限部分被覆である。これは$\mathscr{O}$の定義と矛盾するので、仮定 $$ U_{1} \notin \mathscr{O} \\ U_{2} \notin \mathscr{O} $$ は間違っている。したがって、$U_{1} \in \mathscr{O}$または$U_{2} \in \mathscr{O}$でなければならず、$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} U_{i} \subset O_{0}$を満たす$O_{0} \in \mathscr{O}$が存在すれば、少なくとも１つの$i_{0}$が$U_{i_{0}} \subset \mathscr{O}$を満たさなければならない。
パート 3.
$\mathscr{O}$は$X$の開被覆なので、全ての$x \in X$に対して$x \in O_{x}$を満たす$O_{x} \in \mathscr{O}$が存在するはずだ。ここで、$\mathscr{S}$は$X$の部分基底なので、 $$ x \in \bigcap_{i=1}^{m} S_{i} \subset O_{x} $$ を満たす$S_{1} , \cdots , S_{m} \in \mathscr{S}$が存在するだろう。パート 2で示したように、$x \in S_{x} \in \mathscr{O}$を満たす$S_{x}$が存在する。すると、$\left\{ S_{x} \ | \ x \in X \right\} \subset \mathscr{S}$は$X$の開被覆になる。$\mathscr{S}$の全ての開被覆が有限部分被覆を持つと仮定していたので、$\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} S_{x_{i}}$を満たす$x_{1} , \cdots , x_{n} \in X$が存在する。しかし、$S_{x_{i}} \in \mathscr{O}$であり、$\mathscr{O}$が有限部分被覆を持たないように定義されていたので、これは矛盾する。したがって、$X$はコンパクトである。
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