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Lp空間、ルベーグ空間 📂ルベーグ空間

Lp空間、ルベーグ空間

定義1 2 3

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}開集合ppを正の実数としよう。

Ω\Omega上で定義された全ての可測関数 ffに対して、集合 Lp(Ω)L^{p}(\Omega)を以下のように定義する。

Lp(Ω):={f:Ωf(x)pdx<} L^{p}(\Omega) := \left\{ f : \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx < \infty \right\}

これをLp空間あるいはルベーグ空間と呼び、簡単にLpL^{p}などと表記することもある。通常、関数解析の教科書では上記のように記述され、測度論、実解析の教科書では次のように記述される。

測度空間 (X,E,μ)(X, \mathcal{E}, \mu)が与えられたとする。XX上で定義された可測関数 ffに対して、集合 Lp(X,E,μ)L^{p}(X, \mathcal{E},\mu)を次のように定義する。

Lp(X,E,μ):={f:fpdμ<} L^{p}(X, \mathcal{E}, \mu) := \left\{ f : \int \left| f \right|^{p} d \mu < \infty \right\}

ここでμ\mu測度である。簡単にLp(μ),Lp(X)L^{p}(\mu), L^{p}(X)などと表記される。

性質

  1. LpL^{p}ベクトル空間である。
  2. 1p1 \le p \le \inftyに対してLpL^{p}ノルム空間である。
  3. LpL^{p}完備空間である。
  4. EXE\subset Xに対して、1pq1 \le p \le q \le \inftyかつμ(E)<    Lq(E)Lp(E)\mu (E) < \infty \implies L^{q} (E) \subset L^{p} (E)である。

説明

2. p<1p \lt 1の場合、p\left\| \cdot \right\|_{p}三角不等式を満たさず、ノルムにならない。しかし、p=p = \inftyの場合、LpL^{p}空間はノルム空間になる

完備なノルムベクトル空間を特にバナッハ空間と呼ぶ。したがって、LpL^{p}空間はバナッハ空間である。LpL^{p}は、ヘルダーの不等式およびミンコフスキーの不等式が成立する空間として特に重要である。

内積が定義されたベクトル空間を内積空間と言う。完備な内積空間を特にヒルベルト空間と言う。L2L^{2}空間の場合は、次のように内積を定義することができる

(f(x)2dx)12=(f(x)f(x)dx)12=f,f12 \left( \int |f(x)|^2 dx\right)^{\frac{1}{2}} = \left( \int f(x)\overline{f(x)}dx \right) ^{\frac{1}{2}} = \langle f,f \rangle ^{\frac{1}{2}}

したがって、L2L^{2}空間はヒルベルト空間である。

4. μ(E)<\mu (E) < \inftyという条件に注目しよう。もし積分範囲が有界でない場合L1(E)L^{1} (E)L2(E)L^{2} (E)はいかなる包含関係も持たなくなる。1p<q<r1 \le p \lt q \lt rが特定の条件を満たす場合、uLpLr    uLq{u \in L^{p} \cap L^{r} \implies u \in L^{q}}成り立つこともある

証明

2.

1p<1\le p <\inftyに対してp\| \cdot \|_{p}を次のように定義する。

fp:=(Ωf(x)pdx)1/p,fLp(Ω) \left\| f \right\|_{p} := \left( \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p},\quad f\in L^{p}(\Omega)

すると、p\| \cdot \|_{p}LpL^{p}空間のノルムになる(0<p<10<p<1の時はノルムにならない)。fp0\| f \|_{p} \ge 0であることは自明であり、fp=0    f=0\| f \|_{p}=0 \iff f=0であることも自明だ。また、cCc \in \mathbb{C}に対してcfp=cfp\| cf \|_{p} = \left| c \right| \left\| f \right\|_{p}が成立することも以下のように示すことができる。

cfp=(Ωcf(x)pdx)1/p=(cpΩf(x)pdx)1/p=c(Ωf(x)pdx)1/p=cfp \begin{align*} \left\| cf \right\|_{p} =& \left( \int_{\Omega} \left| cf(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left( \left| c \right|^{p} \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left| c \right| \left( \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^{p} dx \right)^{1/p} \\ =& \left| c \right| \left\| f \right\|_{p} \end{align*}

f,gLpf,g \in L^{p}に対して、f+gpfp+gp\left\| f + g \right\|_{p} \le \| f \|_{p} + \| g \|_{p}も同様に成立し、これはミンコフスキーの不等式と呼ばれている。

3.

戦略:ほとんど全てがファトゥの補題によって解決される。


与えられたコーシー数列 fnf_{n} に対して、fnfnkp<12k\left\| f_{n} - f_{n_{k}} \right\|_{p} < \dfrac{1}{2^{k}}を満たす部分数列 fnkf_{n_{k}} を見つけることができる。全ての kNk \in \mathbb{N} に対して

gk:=i=1kfni+1fnig:=limkgk=i=1fni+1fni \begin{align*} g_{k} :=& \sum_{i=1}^{k} \left| f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}} \right| \\ g :=& \lim_{k \to \infty} g_{k} = \sum_{i=1}^{\infty} \left| f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}} \right| \end{align*}

を定義すると、三角不等式によって

gkpik12i<1 \left\| g_{k} \right\|_{p} \le \sum_{i}^{k} \dfrac{1}{2^{i}} < 1

ファトゥの補題

関数値が非負の可測関数数列 {fn}\left\{ f_{n} \right\} に対して

(lim infnfn)dμlim infnfndμ \int \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) d \mu \le \liminf_{n \to \infty} \int f_{n} d \mu

ファトゥの補題により

gpplimngkpdμlim infkgkpdμ1 \left\| g \right\|_{p}^{p} \le \int \lim_{n \to \infty} g_{k}^{p} d \mu \le \liminf_{k \to \infty} \int g_{k}^{p} d \mu \le 1

ggほとんど至る所で有限であるため、

fnk=fn1(x)+i=1k[fni(x)fni1(x)] f_{n_{k}} = f_{n_{1}}(x) + \sum_{i=1}^{ k } \left[ f_{n_{i}} (x) - f_{n_{i-1}} (x) \right]

ほとんど至る所で収束する。f:=limkfnkf := \lim\limits_{k \to \infty} f_{n_{k}}と定義すると、ファトゥの補題により

ffmp=ffmpdμlim infkfnkfmpdμεp \left\| f - f_{m} \right\|_{p} = \int |f - f_{m}|^{p} d \mu \le \liminf_{k \to \infty} \int | f_{n_{k}} - f_{m}|^{p} d \mu \le \varepsilon^{p}

したがってffmLpf - f_{m} \in L^{p}であり、f=fm+(ffm)Lpf = f_{m} + (f - f_{m} ) \in L^{p}である。LpL^{p}の全てのコーシー数列がLpL^{p}の元に収束するため、LpL^{p}は完備空間である。

4.

戦略:f(x)p1+f(x)q|f(x)|^{p} \le 1 + |f(x)|^{q}という不等式を示せば、残りはルベーグ積分の性質によって証明が終わる。


fLqf \in L^{q}としよう。すると、次の式が成り立つ。

f(x)1    f(x)p11f(x)    f(x)pf(x)q \begin{align*} | f(x) | \le 1 \implies& |f(x) |^{p} \le 1 \\ 1 \le |f(x)| \implies& |f(x)|^{p} \le |f(x)|^{q} \end{align*}

したがって、f(x)| f(x) |11より大きいか小さいかにかかわらず、次が成り立つ。

f(x)p1+f(x)q |f(x)|^{p} \le 1 + |f(x)|^{q}

ルベーグ積分 Edμ\displaystyle \int_{E} d \mu をとると、以下のようになる。

EfpdμE1dμ+Efqdμ=m(E)+Efqdμ< \int_{E} |f|^{p} d \mu \le \int_{E} 1 d \mu + \int_{E} |f|^{q} d \mu = m(E) + \int_{E} |f|^{q} d \mu < \infty

m(E)<m(E) < \inftyでありEfqdμ<\displaystyle \int_{E} |f|^{q} d \mu < \inftyであるため、次が成り立つ。

Efpdμ< \int_{E} |f|^{p} d \mu < \infty

言い換えれば、fLq    fLpf \in L^{q} \implies f \in L^{p}であるため、

Lq(E)Lp(E) L^{q} (E) \subset L^{p} (E)

参照


  1. Capinski, Measure, Integral and Probability (1999), p140 ↩︎

  2. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p23 ↩︎

  3. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p181 ↩︎