Lp空間、ルベーグ空間
📂ルベーグ空間Lp空間、ルベーグ空間
定義
Ω⊂Rnを開集合、pを正の実数としよう。
Ω上で定義された全ての可測関数 fに対して、集合 Lp(Ω)を以下のように定義する。
Lp(Ω):={f:∫Ω∣f(x)∣pdx<∞}
これをLp空間あるいはルベーグ空間と呼び、簡単にLpなどと表記することもある。通常、関数解析の教科書では上記のように記述され、測度論、実解析の教科書では次のように記述される。
測度空間 (X,E,μ)が与えられたとする。X上で定義された可測関数 fに対して、集合 Lp(X,E,μ)を次のように定義する。
Lp(X,E,μ):={f:∫∣f∣pdμ<∞}
ここでμは測度である。簡単にLp(μ),Lp(X)などと表記される。
性質
- Lpはベクトル空間である。
- 1≤p≤∞に対してLpはノルム空間である。
- Lpは完備空間である。
- E⊂Xに対して、1≤p≤q≤∞かつμ(E)<∞⟹Lq(E)⊂Lp(E)である。
説明
2. p<1の場合、∥⋅∥pは三角不等式を満たさず、ノルムにならない。しかし、p=∞の場合、Lp空間はノルム空間になる。
完備なノルムベクトル空間を特にバナッハ空間と呼ぶ。したがって、Lp空間はバナッハ空間である。Lpは、ヘルダーの不等式およびミンコフスキーの不等式が成立する空間として特に重要である。
内積が定義されたベクトル空間を内積空間と言う。完備な内積空間を特にヒルベルト空間と言う。L2空間の場合は、次のように内積を定義することができる。
(∫∣f(x)∣2dx)21=(∫f(x)f(x)dx)21=⟨f,f⟩21
したがって、L2空間はヒルベルト空間である。
4. μ(E)<∞という条件に注目しよう。もし積分範囲が有界でない場合、L1(E)とL2(E)はいかなる包含関係も持たなくなる。1≤p<q<rが特定の条件を満たす場合、u∈Lp∩Lr⟹u∈Lqが成り立つこともある。
証明
2.
1≤p<∞に対して∥⋅∥pを次のように定義する。
∥f∥p:=(∫Ω∣f(x)∣pdx)1/p,f∈Lp(Ω)
すると、∥⋅∥pはLp空間のノルムになる(0<p<1の時はノルムにならない)。∥f∥p≥0であることは自明であり、∥f∥p=0⟺f=0であることも自明だ。また、c∈Cに対して∥cf∥p=∣c∣∥f∥pが成立することも以下のように示すことができる。
∥cf∥p====(∫Ω∣cf(x)∣pdx)1/p(∣c∣p∫Ω∣f(x)∣pdx)1/p∣c∣(∫Ω∣f(x)∣pdx)1/p∣c∣∥f∥p
f,g∈Lpに対して、∥f+g∥p≤∥f∥p+∥g∥pも同様に成立し、これはミンコフスキーの不等式と呼ばれている。
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3.
戦略:ほとんど全てがファトゥの補題によって解決される。
与えられたコーシー数列 fn に対して、∥fn−fnk∥p<2k1を満たす部分数列 fnk を見つけることができる。全ての k∈N に対して
gk:=g:=i=1∑k∣fni+1−fni∣k→∞limgk=i=1∑∞∣fni+1−fni∣
を定義すると、三角不等式によって
∥gk∥p≤i∑k2i1<1
ファトゥの補題
関数値が非負の可測関数の数列 {fn} に対して
∫(n→∞liminffn)dμ≤n→∞liminf∫fndμ
ファトゥの補題により
∥g∥pp≤∫n→∞limgkpdμ≤k→∞liminf∫gkpdμ≤1
gがほとんど至る所で有限であるため、
fnk=fn1(x)+i=1∑k[fni(x)−fni−1(x)]
はほとんど至る所で収束する。f:=k→∞limfnkと定義すると、ファトゥの補題により
∥f−fm∥p=∫∣f−fm∣pdμ≤k→∞liminf∫∣fnk−fm∣pdμ≤εp
したがってf−fm∈Lpであり、f=fm+(f−fm)∈Lpである。Lpの全てのコーシー数列がLpの元に収束するため、Lpは完備空間である。
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4.
戦略:∣f(x)∣p≤1+∣f(x)∣qという不等式を示せば、残りはルベーグ積分の性質によって証明が終わる。
f∈Lqとしよう。すると、次の式が成り立つ。
∣f(x)∣≤1⟹1≤∣f(x)∣⟹∣f(x)∣p≤1∣f(x)∣p≤∣f(x)∣q
したがって、∣f(x)∣が1より大きいか小さいかにかかわらず、次が成り立つ。
∣f(x)∣p≤1+∣f(x)∣q
ルベーグ積分 ∫Edμ をとると、以下のようになる。
∫E∣f∣pdμ≤∫E1dμ+∫E∣f∣qdμ=m(E)+∫E∣f∣qdμ<∞
m(E)<∞であり∫E∣f∣qdμ<∞であるため、次が成り立つ。
∫E∣f∣pdμ<∞
言い換えれば、f∈Lq⟹f∈Lpであるため、
Lq(E)⊂Lp(E)
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参照