logo

部分環の定義と部分環判定法 📂抽象代数

部分環の定義と部分環判定法

定義 1

環 RRの部分集合 SSが環 RRの演算に対して環の条件を満たすとき、SSを環 RRの部分環Subring\mathrm{Subring}という。

一方、{0}\left\{ 0 \right\}と RRは環 RRの部分環であることが自明なので、{0}\left\{ 0 \right\}と RRを自明な部分環(trivial subring\mathrm{trivial\ subring})という。

定理: 部分環の判定法

環 RRの空集合ではない部分集合 SSに対して、a, ba,\ bが SSの要素であるとき、a−b, aba-b,\ abも SSの要素であれば、SSは環 RRの部分環である。つまり、SSが引き算と掛け算に対して閉じていれば、環 RRの部分環である。

証明

a, ba,\ bが部分集合 SSの要素であるとき、a−b, aba-b,\ abも SSの要素であると仮定する。

  1. 仮定により、部分群の判定法によって、SSは加法に関して群である。
  2. SSの演算は環 RRの演算と同じなので、交換法則が自明に成立する。
  3. 仮定により、掛け算に対して閉じていることも自明である。
  4. 部分集合 SSの演算は環 RRの演算と同じなので、掛け算に対する結合法則が成立することも自明である。
  5. 同じ理由で、部分集合 SS内で加法と掛け算に対する分配法則が成立することも当然である。

1〜5により、部分集合 SSが両方の演算に対して閉じており、加法に関してアーベル群であり、掛け算に対する結合法則が成立し、加法と掛け算に対する分配法則が成立しているので、SSは環である。したがって、部分集合 SSは環 RRの部分環である。

■

  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p173. ↩︎