部分群の定義と部分群の判定法 📂抽象代数

部分群の定義と部分群の判定法

定義¹

群 $G$ の部分集合 $H$ が群 $G$ の演算に関して群であるとき、$H$ を群 $G$ の 部分群^subgroupという。次のように表記する。

$$ H \le G $$

$H$ が $G$ と等しくない部分群であるなら 真部分群^{proper subgroup}という。次のように表記する。

$$ H \lt G, \qquad H \lneq G $$

任意の群 $G$ の単位元 $e \in G$ に対して、▷eq10◯ は常に $G$ の部分群となり、これを 自明な部分群^{trivial subgroup}という。自明な部分群でない部分群を 非自明な部分群^{nontrivial subgroup}という。