📂抽象代数

部分群の定義と部分群の判定法

定義 ¹

群 $G$ の部分集合 $H$ が群 $G$ の演算で群である時、$H$は群 $G$の部分群^subgroupと呼ばれる。

定理

部分群の判定法: 群 $G$ の空でない部分集合 $H$ において、$a,\ b$ が $H$ の要素の時に $ab^{-1}$ も $H$ の要素であれば、$H$は $G$ の部分群である。つまり、$a,\ b$ が $H$ の要素の時 $a-b$ も $H$ の要素であれば、$H$ は部分群である。

証明

$a,\ b$ が $H$ の要素の時に $ab^{-1}$ も $H$ の要素であると仮定しよう。すると、$H$ が群になるための3つの条件を満たすか確認すればいい。

1. $H$ の演算は群 $G$ の演算と同じなので、結合法則は自明である。
2. $a=x,\ b=x$ としよう。すると、$ab^{-1}=xx^{-1}=e$ であり、仮定により $H$ の要素になるので、$H$ は単位元を持つ。
3. $a=e,\ b=x$ としよう。すると、$ex^{-1}=x^{-1}$ であり、仮定により $H$の要素になるので、$H$ の任意の要素 $b$ は逆元を持つ。
4. 3により、どの要素も逆元を持つことが確認できたので、$a=x,\ b=-y$ としよう。すると、$x(y^{-1})^{-1}=xy$ であり、仮定により $H$ の要素になるので、$H$ は演算に対して閉じている。

1~4により、$H$ は群 $G$ の演算に対して閉じており、結合法則が成立し、単位元と逆元を持つため、群である。したがって、部分集合 $H$ は群 $G$ の部分群である。

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