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整数論におけるシグマ関数 📂整数論

整数論におけるシグマ関数

定理

σ(n):=dnd\displaystyle \sigma (n) : = \sum_{d \mid n} d について、次のことが成り立つ。

  • [1]: 素数 pp に対して、 σ(pk)=pk+11p1\sigma ( p^k ) = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}}
  • [2]: gcd(n,m)=1\gcd (n , m ) = 1 ならば、 σ(nm)=σ(n)σ(m)\sigma (nm) = \sigma (n) \sigma (m)

説明

シグマ関数は、簡単に言えば約数の和で、例えば 66 においては σ(6)=1+2+3+6=12\sigma (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 である。解析的整数論では、ディバイザー関数に一般化される。

また、シグマ関数を述べることで、完全数perfect numberをきれいに定義することができる。完全数とは、その数自身を除く約数の和が自分自身と等しくなる数のことだ。従って、σ(n)=2n\sigma (n) = 2n を満たす nn を完全数と定義すれば良い。

証明

[1]

σ(pk)=1+p++pk=pk+11p1 \sigma ( p^k ) = 1 + p + \cdots + p^{k} = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}}

[2]

nn約数1,dn1,dn2,,dnN,n1, d_{n1}, d_{n2}, \cdots, d_{nN}, n、そして mm約数1,dm1,dm2,,dmM,m1, d_{m1}, d_{m2}, \cdots, d_{mM}, m としよう。

gcd(n,m)=1\gcd(n,m) = 1 だから、 dnmd=1+dn1+dm1+dn1dm1++nm \sum_{d \mid nm} d = 1 + d_{n1} + d_{m1} + d_{n1} d_{m1} + \cdots + nm 、 まとめると、 dnmd=(1+dn1++n)(1+dm1++m)=dndndmdm \sum_{d \mid nm} d = (1 + d_{n1} + \cdots + n ) (1 + d_{m1} + \cdots + m) = \sum_{d | n} d_{n} \sum_{d | m} d_{m}