整数論におけるシグマ関数
📂整数論整数論におけるシグマ関数
定理
σ(n):=d∣n∑d について、次のことが成り立つ。
- [1]: 素数 p に対して、
σ(pk)=p−1pk+1−1
- [2]: gcd(n,m)=1 ならば、
σ(nm)=σ(n)σ(m)
説明
シグマ関数は、簡単に言えば約数の和で、例えば 6 においては σ(6)=1+2+3+6=12 である。解析的整数論では、ディバイザー関数に一般化される。
また、シグマ関数を述べることで、完全数perfect numberをきれいに定義することができる。完全数とは、その数自身を除く約数の和が自分自身と等しくなる数のことだ。従って、σ(n)=2n を満たす n を完全数と定義すれば良い。
証明
[1]
σ(pk)=1+p+⋯+pk=p−1pk+1−1
■
[2]
n の約数を 1,dn1,dn2,⋯,dnN,n、そして m の約数を 1,dm1,dm2,⋯,dmM,m としよう。
gcd(n,m)=1 だから、
d∣nm∑d=1+dn1+dm1+dn1dm1+⋯+nm、
まとめると、
d∣nm∑d=(1+dn1+⋯+n)(1+dm1+⋯+m)=d∣n∑dnd∣m∑dm
■