📂位相幾何学

位相空間における最大値最小値定理の証明

定理 ¹

コンパクト空間$X$に対し、関数$f : X \to \mathbb{R}$が連続であれば、全ての$x \in X$に対して$f(c) \le f(x) \le f(d)$を満たす$c,d \in X$が存在する。

説明

$\mathbb{R}$では、コンパクトとは閉区間$[a,b]$であることと同値であるため、結局これは高校や解析学で習う定理の一般化である。トポロジーの難しい理論を使うだけあって、証明はむしろ簡単である。

証明

コンパクト空間に関する補助定理：$f : X \to Y$として、$X$がコンパクトで、$f$が連続であるとする。

• [2]: $Y$がハウスドルフであれば、$f$は閉じた関数である。閉集合$C \subset X$に対して、$f(C) \subset Y$は閉集合である。

$f(X)$はコンパクトであるため、開被覆$\mathcal{O} := \left\{ (-n,n) \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$に対して、 $$f(X) \subset \bigcup_{n=1}^{m} (-n , n) \subset \mathcal{O}$$ を満たす$m$が存在する。補助定理1により、$f(X)$は有界であり、$\mathbb{R}$はハウスドルフ空間であるため、補助定理[2]により全体集合$X \subset X$のイメージ$f(X)$は$\mathbb{R}$で閉集合である。$f(X)$が有界であるため、完備性公理により、 $$u := \sup f(X) \\ l : = \inf f(X)$$ が存在する。$f(X)$が閉集合であるため、 $$u, l \in f(X) \\ f(c) = l \\ f(d) = u$$ を満たすある$c,d \in X$が存在しなければならない。この$c,d$は全ての$x \in X$に対して$f(c) \le f(x) \le f(d)$を満たす。

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参照

• 距離空間における最大最小定理