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クレロの微分方程式の解

定義

以下の1次の非線形微分方程式をクレロ方程式^{Clairaut equation}という。

$$y=xy^\prime+f(y^\prime )$$

説明

クレロ微分方程式は、ベルヌーイ微分方程式やリカッティ微分方程式などの他の非線形微分方程式よりも解きやすい側である。

解法

与えられた微分方程式 $y=xy^\prime+f(y^\prime )$の両辺を微分し、整理する。

$$\begin{align*} && y^\prime = y^\prime+xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}f^\prime(y^\prime ) \\ \implies && xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}f^\prime(y^\prime )=0 \\ \implies && y^{\prime \prime} \left[ x + f^\prime ( y^\prime) \right]=0 \end{align*}$$

• Case 1. $y^{\prime \prime}=0$の場合

  この場合、$y=ax+b$を直接得ることができる。$a,\ b$は任意の定数である。与えられた微分方程式に代入すると

  $$\begin{align*} && ax+b=xa+f(a) \\ \implies &&b=f(a) \end{align*}$$

  従って、一般解は $y=ax+f(a)$。初期条件がある場合には、定数$a$を正確に求めることができる。

• Case 2. $x+f^\prime (y^\prime )=0$の場合

  $x$や$y^\prime$として整理し、与えられた微分方程式と連立して解を求める。

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以下の例を通じて、詳細な解法を確認しよう。

例題

微分方程式 $y = xy^\prime + (y^\prime )^2$を解け。

両辺を微分すると

$$\begin{align*} &&y^\prime =y^\prime + xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}2y^\prime \\ \implies && xy^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime}y^\prime =0 \\ \implies && y^{\prime \prime} \left[ x+2y^\prime \right] =0 \end{align*}$$

• Case 1. $y^{\prime \prime}=0$の場合

  $y=ax+b$であり、$y^\prime =a$である。与えられた微分方程式に代入すると $$\begin{align*} && ax+b&=ax+a^2 \\ \implies && b&=a^2 \end{align*}$$

  従って

  $$y=ax+a^2$$

• Case 2. $x+2y^\prime =0$の場合

  $y^\prime$に関して整理すると

  $$y^\prime = 1\frac{1}{2}x$$

  与えられた微分方程式に代入すると

  $$\begin{align*} y&=x\left(- \frac{1}{2}x \right) + \left( \frac{1}{4} x^2 \right) \\ &=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^2 \\ &=-\frac{1}{4}x^2 \end{align*}$$

  従って

  $$y=-\frac{1}{4}x^2$$

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