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ベルヌーイ微分方程式の解法 📂微分方程式

ベルヌーイ微分方程式の解法

定義

下の1階非線形微分方程式をベルヌーイ方程式Bernoulli equationと呼ぶ。

y′+p(x)y=q(x)yn y^\prime + p(x)y = q(x)y^n

この時、nnは22以上の整数で、n=0, 1n=0,\ 1の時は線形方程式だ。

説明

ちなみに、ベルヌーイ微分方程式のベルヌーイと、よく知られている流体力学のベルヌーイの原理のベルヌーイは別人だ。ベルヌーイ家は数学、科学に優れた人が多かった家系だから、ベルヌーイの名前がついた公式や定理が多い。もっと詳細が知りたければ、ここを参照するといい。

ベルヌーイ微分方程式は非線形微分方程式だ。非線形方程式を解くのは非常に難しく、少しトリックが必要だ。ベルヌーイ微分方程式を解くトリックは、非線形の式を線形に変換するために置換を利用することだ。

解法

  • ステップ 1.

    私たちが探している解 yyは y≠0y \ne 0と等しいから、微分方程式の両辺を yny^nで割ると

    y−ny′+py1−n=q y^{-n}y^\prime + py^{1-n}=q

  • ステップ 2.

    u≡y1−nu \equiv y^{1-n}と置換しよう。すると

    dudx=(1−n)y−ndydx  ⟹  11−ndudx=y−ndydx \dfrac{du}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx} \\ \implies \dfrac{1}{1-n}\dfrac{du}{dx}=y^{-n}\dfrac{dy}{dx}

    与えられた微分方程式に代入すると

    11−ndudx+pu=q  ⟹  u′+(1−n)pu=(1−n)q \begin{align*} && \dfrac{1}{1-n}\dfrac{du}{dx} + pu=q \\ \implies && u^\prime + (1-n)pu=(1-n)q \end{align*}

  • ステップ 3.

    これは、与えられた微分方程式が1階線形微分方程式になったので、uuの一般解を求める。その後、u=y1−nu=y^{1-n}を代入すると、最終的にyyの一般解を求めることができる。

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例題

微分方程式 y′=Py−Qy2y^\prime = Py-Qy^2を解け。

与えられた微分方程式は、n=2n=2の場合のベルヌーイ微分方程式だ。両辺に−y−2-y^{-2}を掛けて整理すると

−y−2y′+Py−1=Q -y^{-2} y^\prime +Py^{-1} = Q

微分方程式を解くために、u=y1−n=y−1u=y^{1-n}=y^{-1}で置換すると

dudx=−y−2dydx \dfrac{du}{dx}=-y^{-2}\dfrac{dy}{dx}

微分方程式に代入すると、下の式が得られる。

dudx+Pu=Q \dfrac{du}{dx}+Pu=Q

1階微分方程式の解法でuuを求めると

u=e−∫Pdx[∫e∫PdxQdx+C]=e−Px[∫ePxQdx+C]=e−PxQPePx+Ce−Px=QP+Ce−Px \begin{align*} u&=e^{-\int Pdx} \left[ \displaystyle \int e^{\int P dx}Q dx+ C \right] \\ &= e^{-Px} \left[ \int e^{Px}Qdx +C\right] \\ &= e^{-Px}\dfrac{Q}{P}e^{Px} + Ce^{-Px} \\ &=\dfrac{Q}{P}+Ce^{-Px} \end{align*}

u=y−1u=y^{-1}だから、最終的にyyを求めると

y=u−1=1QP+Ce−Px y=u^{-1}=\dfrac{1}{\frac{Q}{P}+Ce^{-Px}}

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