同次線形微分方程式の解の線形結合も解であることの証明
📂微分方程式同次線形微分方程式の解の線形結合も解であることの証明
要旨
y1,y2がay′′+by′+cy=0の解であればd1y1+d2y2も解である。この時、d1,d2は任意の定数である。
説明
証明を見れば分かるが、任意のn次の線形同次微分方程式に対しても成立する。
証明
y1,y2がay′′+by′+cy=0の解だとしよう。すると以下の二つの式が成立する。
d1(ay1′′+by1′+cy1)d2(ay2′′+by2′+cy2)=0=0
d1y1+d2y2を与えられた微分方程式に代入して0が出れば証明終了だ。
===a(d1y1+d2y2)′′+b(d1y1+d2y2)′+c(d1y1+d2y2) ad1y1′′+ad2y2′′+bd1y1′+bd2y2′+cd1y1+cd2y2d1(ay1′′+by1′+cy1)+d2(ay2′′+by2′+cy2) 0
仮定により、第一、第二の括弧が共に0であるため、式が成立する。従って、y1とy2が与えられた微分方程式の解である時、d1y1+d2y2も解である。
■