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不均一な進行波の偏微分方程式の解 📂偏微分方程式

不均一な進行波の偏微分方程式の解

定義

次の式を満たすuuを非一様進行波non-uiform traveling waveという。

{ut+c(x)ux=0,t>0u(t,x)=f(x),t=0 \begin{cases} u_{t} + c(x) u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases}

ここでttは時間、xxは位置、u(t,x)u(t,x)は時間ttの時の位置xxでの波形を表す。ffは初期条件で、特にt=0t=0の時の波形を表す。関数c(x)c(x)は波の進行速度を表す。

説明

20180514\_081500.png

非一様進行波は、時間が経つにつれて速度が変わる波動だ。上の図の場合、だんだんと速度が減少して、最後には一点でただ立つ波形になっていく。

ccが定数ならば、一様進行波の偏微分方程式になる。非一様進行波の偏微分方程式の解が存在するならば、解法は次の通りだ。

解法

  • ステップ1. 特性曲線が存在して、x=x(t)x = x(t)、つまりh(t)=u(t,x(t))h(t) = u(t, x(t))と仮定する。

    多変量関数の連鎖律により

    dhdt=∂u∂tdtdt+∂u∂xdxdt=ut+dxdtux \displaystyle {{ dh } \over { dt }} = {{\partial u} \over {\partial t}} {{d t} \over {d t}} + {{\partial u } \over {\partial x }} {{d x } \over {d t }} = u_{t} + {{dx} \over {dt}} u_{x}

    ここで

    c(x)=dxdt  ⟹  1c(x)dx=dt \displaystyle c(x) = {{dx} \over {dt}} \implies {{ 1 } \over { c(x) }} dx = dt

    とする。

  • ステップ2. 特性曲線β(x)=t\beta (x) = tを見つける。

    得られた式に積分を取ると∫1c(x)dx=∫dt=t\displaystyle \int {{ 1 } \over { c(x) }} dx = \int dt = t となるので、β(x)=∫1c(x)dx\displaystyle \beta (x) = \int {{ 1 } \over { c(x) }} dxとする。

  • ステップ3. β−1(t)=x\beta^{-1} (t ) = xを求める。

    特性曲線同士は決して交わらないので、逆関数は存在する。

  • ステップ4. u(t,x):=f(β−1(β(x)−t))u(t,x) := f( \beta^{-1 } ( \beta ( x ) -t ) ) とする。

    それならば

    ut=f′(β−1(β(x)−t))(β−1)′(β(x)−t)⋅(−1) u_{t} = f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) \cdot (-1)

    そして

    ux=f′(β−1(β(x)−t))(β−1)′(β(x)−t)⋅β′(x) u_{x} = f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) \cdot \beta ' (x)

    特性曲線の定義からβ′(x)=1c(x)\displaystyle \beta ' (x) = {{1} \over {c(x)}}であるため

    ut+c(x)ux=−f′(β−1(β(x)−t))(β−1)′(β(x)−t)+c(x)f′(β−1(β(x)−t))(β−1)′(β(x)−t)1c(x)=0 \begin{align*} \\ &u_{t} + c(x) u_{x} \\ =&- f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) + c(x) f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) {{1} \over {c(x)}} \\ =& 0 \end{align*}

    従って、u(t,x)=f(β−1(β(x)−t))u(t,x) = f( \beta^{-1 } ( \beta ( x ) -t ) )は非一様進行波の微分方程式の解になる。

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例

  • {ut+(x2−1)ux=0,t>0u(t,x)=e−x2,t=0\begin{cases} u_{t} + (x^2 - 1) u_{x} = 0 & , t> 0 \\ u(t,x) = e^{-x^2} & , t = 0 \end{cases}の解を求めろ。

x=±1x = \pm 1では、c(x)=x2−1=0c(x) = x^2 - 1 = 0なので、定在波の偏微分方程式になり、u(t,x)=u(0,x)=f(x)=e−x2u(t,x) = u(0,x) = f(x) = e^{-x^2}だ。x≠±1x \ne \pm 1では、特性曲線

t=beta(x)=∫1x2−1dx=12log⁡∣x−1x+1∣ t = beta (x) = \int {{1} \over {x^2 - 1}} dx = {{1 } \over {2}} \log \left| {{x-1} \over {x+1}} \right|

を見つけ、そしてx=β−1(t)=1+e2t1−e2t\displaystyle x= \beta^{-1} (t) = {{1 + e^{2t}} \over {1 - e^{2t}}}なので、

u(t,x)=f(β−1(β(x)−t))=exp⁡[−(x+1+(x−1)e−2tx+1−(x−1)e−2t)2] u(t,x) = f(\beta^{-1} ( \beta (x) - t ) ) = \exp \left[ - \left( {{ x + 1 + (x - 1) e^{-2t} } \over { x + 1 - (x - 1) e^{-2t} }} \right)^2 \right]

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