不均一な進行波の偏微分方程式の解
定義
次の式を満たす$u$を非一様進行波non-uiform traveling waveという。
$$ \begin{cases} u_{t} + c(x) u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$
ここで$t$は時間、$x$は位置、$u(t,x)$は時間$t$の時の位置$x$での波形を表す。$f$は初期条件で、特に$t=0$の時の波形を表す。関数$c(x)$は波の進行速度を表す。
説明
非一様進行波は、時間が経つにつれて速度が変わる波動だ。上の図の場合、だんだんと速度が減少して、最後には一点でただ立つ波形になっていく。
$c$が定数ならば、一様進行波の偏微分方程式になる。非一様進行波の偏微分方程式の解が存在するならば、解法は次の通りだ。
解法
ステップ1. 特性曲線が存在して、$x = x(t)$、つまり$h(t) = u(t, x(t))$と仮定する。
多変量関数の連鎖律により
$$ \displaystyle {{ dh } \over { dt }} = {{\partial u} \over {\partial t}} {{d t} \over {d t}} + {{\partial u } \over {\partial x }} {{d x } \over {d t }} = u_{t} + {{dx} \over {dt}} u_{x} $$
ここで
$$ \displaystyle c(x) = {{dx} \over {dt}} \implies {{ 1 } \over { c(x) }} dx = dt $$
とする。
ステップ2. 特性曲線$\beta (x) = t$を見つける。
得られた式に積分を取ると$\displaystyle \int {{ 1 } \over { c(x) }} dx = \int dt = t $となるので、$\displaystyle \beta (x) = \int {{ 1 } \over { c(x) }} dx$とする。
ステップ3. $\beta^{-1} (t ) = x$を求める。
特性曲線同士は決して交わらないので、逆関数は存在する。
ステップ4. $u(t,x) := f( \beta^{-1 } ( \beta ( x ) -t ) ) $とする。
それならば
$$ u_{t} = f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) \cdot (-1) $$
そして
$$ u_{x} = f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) \cdot \beta ' (x) $$
特性曲線の定義から$\displaystyle \beta ' (x) = {{1} \over {c(x)}}$であるため
$$ \begin{align*} \\ &u_{t} + c(x) u_{x} \\ =&- f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) + c(x) f ' ( \beta^{-1 } ( \beta (x ) - t ) ) (\beta^{-1})' ( \beta (x) - t ) {{1} \over {c(x)}} \\ =& 0 \end{align*} $$
従って、$u(t,x) = f( \beta^{-1 } ( \beta ( x ) -t ) )$は非一様進行波の微分方程式の解になる。
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例
- $\begin{cases} u_{t} + (x^2 - 1) u_{x} = 0 & , t> 0 \\ u(t,x) = e^{-x^2} & , t = 0 \end{cases}$の解を求めろ。
$x = \pm 1$では、$c(x) = x^2 - 1 = 0$なので、定在波の偏微分方程式になり、$u(t,x) = u(0,x) = f(x) = e^{-x^2}$だ。$x \ne \pm 1$では、特性曲線
$$ t = beta (x) = \int {{1} \over {x^2 - 1}} dx = {{1 } \over {2}} \log \left| {{x-1} \over {x+1}} \right| $$
を見つけ、そして$\displaystyle x= \beta^{-1} (t) = {{1 + e^{2t}} \over {1 - e^{2t}}}$なので、
$$ u(t,x) = f(\beta^{-1} ( \beta (x) - t ) ) = \exp \left[ - \left( {{ x + 1 + (x - 1) e^{-2t} } \over { x + 1 - (x - 1) e^{-2t} }} \right)^2 \right] $$
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