📂偏微分方程式

一様進行波の偏微分方程式の解

定義

次の式を満たす$u$を一様な進行波^{uniform traveling wave}という。

$$\begin{cases} u_{t} + c u_{x} + a u = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases}$$

ここで、$t$は時間、$x$は位置、$u(t,x)$は時間$t$の時の位置$x$での波形を表す。$f$は初期条件で特に$t=0$の時の波形を表す。定数$c$は波の進行速度を表し、定数$a$の符号によって振幅が変わる。

説明

一様な進行波は時が経つにつれて一定の速度で移動する波である。定数$a$が正の場合、振幅は時間が経つにつれて上のように小さくなる。

• $c=0$ならば波は動かない、$c>0$ならば$x$軸の方向に移動し、$c<0$ならば$x$軸の反対方向に移動する。
• $a=0$ならば振幅は変わらず、$a>0$ならば振幅が徐々に小さくなり、$a<0$ならば振幅が徐々に大きくなる。

$a, c = 0$ならば定常波の偏微分方程式になる。一様な進行波の偏微分方程式の解が存在する場合、解は次のようになる。

数理生物学での応用

$${{ \partial n } \over { \partial t }} + {{ \partial n } \over { \partial a }} = - \mu \left( a \right) n$$

フォン・フェアスター方程式は集団の年齢構造を一様な進行波でモデリングする。

解法

• ステップ 1. 特性曲線$x : = ct + \xi$を取る。

  これは波の初期位置を$\xi$として時間当たり$c$だけ移動することを示す。

• ステップ 2. 新しい関数$v(t,\xi) := u(t,x)$を定義する。

  すると$u(t, ct + \xi) = v(t, x - ct)$となり、多変数関数の連鎖律により

  $$\displaystyle {{ \partial u } \over { \partial t }} = {{ \partial v } \over { \partial t }} {{ d t } \over { d t }} + {{ \partial v } \over { \partial \xi }} {{ d \xi } \over { d t }} = v_{t} - c v_{ \xi } \\ \displaystyle {{ \partial u } \over { \partial x }} = {{ \partial v } \over { \partial t }} {{ d t } \over { d x }} + {{ \partial v } \over { \partial \xi }} {{ d \xi } \over { d x }} = 0 + v_{ \xi }$$

  一様な進行波を仮定しているため、$\displaystyle v_{x} = {{ \partial v } \over { \partial t }} {{ d t } \over { d x }} = 0$となる。

• ステップ 3. $u ( t, x ) = v( t, \xi )$を代入する。

  $$\begin{align*} u_{t} + c u_{x} + a u &= ( v_{t} - c v_{\xi} ) + c v_{\xi} + a v \\ =& v_{t} + a v \\ =& 0 \end{align*}$$

• ステップ 4. 常微分方程式$v_{t} + a v = 0$の両辺に$e^{a t }$をかける。

  $$\displaystyle v_{t} e^{at} + a v e^{at} = 0 \iff {{ \partial } \over { \partial t }} \left( v e^{at} \right) = 0$$

  一方

  $$\begin{align*} f(x) =& u(0,x) \\ =& v(0, \xi) \\ =& v(0, \xi) e^{ a \cdot 0 } \\ =& f (\xi ) \end{align*}$$

  となるので、$f( \xi ) = v e^{at}$は定常波の偏微分方程式$\displaystyle {{ \partial } \over { \partial t }} \left( v e^{at} \right) = 0$の解となる。

  • ステップ 5. 再び$v( t, \xi ) = u ( t, x )$に戻す。

    $v(t,x) e^{a t} = f(\xi)$より、$u(t,x) = f(x - ct) e^{-at}$となる。

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例題

1

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} -4 u_{x} + u = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = x^2 & , t=0 \end{cases}$の解を求めよ。

解の公式$u(t,x) = f(x - ct) e^{-at}$に$c=-4$と$a = 1$を代入すると

$$u(t,x) = (x + 4t)^2 e^{-t}$$

検算すると

$$u_{t} -4 u_{x} + u = \left[ 8(x + 4t) - (x + 4t)^2 \right] e^{-t} - 4 \cdot 2 (x + 4t) e^{-t} + (x + 4t)^2 e^{-t} = 0$$

そして

$$u(0,x) = (x + 0 )^2 e^{-0} = x^2$$

だ。

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2

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + 2 u_{x} = 1 & , t>0 \\ u(t,x) = e^{-x^2} & , t=0 \end{cases}$の解を求めよ。

まず$\displaystyle \begin{cases} w_{t} + 2 w_{x} = 0 & , t>0 \\ w(t,x) = e^{-x^2} & , t=0 \end{cases}$の解から求めよう。解の公式$w(t,x) = f(x - ct) e^{-at}$に$c=2$と$a = 0$を代入すると

$$w(t,x) = e^{-(x-2t)^2}$$

今、ある関数$f,g$について$u(t,x) = w(t,x) + f(t) + g(x)$としよう。任意の定数$k \in \mathbb{R}$について$f(t) = kt$そして$\displaystyle g(x) = {{1-k} \over {2}} x$とすると

$$u_{t} + 2 u_{x} = [ w_{t} + f '(t) ] + 2 [ w_{x} + g ' (x) ] = ( w_{t} + 2 w_{x} ) + ( k + 2 {{1-k} \over {2}} ) = 0 + 1$$

したがって

$$u(t,x) = e^{-(x-2t)^2} + kt + {{1-k} \over {2}} x$$

は与えられた方程式の解となる。

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