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ルベーグ可測関数 📂測度論

ルベーグ可測関数

定義 1

関数 f:E∈R‾f: E \in \overline{ \mathbb{R} } が全ての区間 I⊂R‾I \subset \overline{ \mathbb{R} } に対して f−1(I)={x∈R ∣ f(x)∈I}∈M f^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{M} であれば、ff を (ルベーグ) 可測(Lesbegue) Measurableと言う。

同値条件

以下の命題は互いに同値である。

  • (1): ff はルベーグ可測関数である。
  • (2): すべての r∈Rr \in \mathbb{R} に対して f−1(−∞,r]∈Mf^{-1} ( - \infty , r ] \in \mathcal{M}
  • (3): すべての r∈Rr \in \mathbb{R} に対して f−1(r,∞)∈Mf^{-1} (r, \infty ) \in \mathcal{M}
  • (4): すべての r∈Rr \in \mathbb{R} に対して f−1(−∞,r)∈Mf^{-1} ( - \infty , r ) \in \mathcal{M}
  • (5): すべての r∈Rr \in \mathbb{R} に対して f−1[r,∞)∈Mf^{-1} [r, \infty ) \in \mathcal{M}

定理

  • [1]: ff が可測であるための必要十分条件は、すべての開集合 OO に対して f−1(O)∈Mf^{-1} ( O ) \in \mathcal{M} であることである。
  • [2]: D⊂ED \subset E、D∈MD \in \mathcal{M} の時、f∣Ef |_{E} が可測であるための必要十分条件は、f∣Df |_{D}、f∣E∖Df |_{E \setminus D} が可測であることである。
  • f∣Xf |_{X} は、定義域を XX に制限し、f=f∣Xf = f |_{X} を満たす縮小写像を意味する。
  • 指示関数indicator functionとは、ある集合に属すれば 11、そうでなければ 00 を返す関数 1E(x)=χE(x)={1,x∈E0,x∉E\displaystyle \mathbb{1}_{E} (x) = \chi _{E} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in E \\ 0 & , x \notin E \end{cases} である。この定義は E∈ME \in \mathcal{M} という条件を省略しているため、注意が必要である。

説明

より容易な操作のために、原像の定義である f−1(−∞,r)={x∈E ∣ f(x)<r}f^{-1} (-\infty , r) = \left\{ x \in E \ | \ f(x) < r \right\} をそのまま使用する方が便利である。

ルベーグ可測関数の条件の下で全ての区間 I⊂RI \subset \mathbb{R} が f−1(I)={x∈R ∣ f(x)∈I}∈Bf^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{B} を満たす場合、それは ボレル可測borel Measurableと呼ばれ、ボレル関数borel functionと呼ばれる。

拡張実数 R‾:=[−∞,∞]\overline{\mathbb{R}} : = [ - \infty, \infty] は、実数全体と無限大も一点として含むものである。これまでの解析学で無限は非常に難しく恐ろしい概念であったが、今は単に征服すべき対象に過ぎない。あまり怖がらずに、高校時代の柔軟な思考を取り戻そう。

一般的な可測空間を考えるとき、[1] は可測関数の定義にもなり得る。

証明

[1]

閉区間の場合、開区間の両端に2点を加えるだけで十分であるため、開区間だけを考えれば十分である。

(⇒)(\Rightarrow)

開区間 Ak:=(ak,∞)A_{k} := (a_{k}, \infty)、Bk:=(bk,∞)B_{k} := (b_{k}, \infty) を定義すると、ff が可測関数であるため、 f−1(Ak),f−1(Bk)∈Mf^{-1} (A_{k}), f^{-1} (B_{k}) \in \mathcal{M} 任意の開集合 O⊂R‾O \subset \overline{ \mathbb{R} } は O=⋃k=1∞Ak∩Bk\displaystyle O = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k} として表すことができるため、 f−1(O)=f−1[⋃k=1∞Ak∩Bk]=⋃k=1∞[f−1(Bk)∩f−1(Bk)]\displaystyle f^{-1} ( O ) = f^{-1} \left[ \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k} \right] = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left[ f^{-1} (B_{k}) \cap f^{-1} (B_{k}) \right] σ-フィールドの性質により f−1(O)∈Mf^{-1} ( O ) \in \mathcal{M} である。

(⇐)(\Leftarrow) すべての開集合 O⊂R‾O \subset \overline{ \mathbb{R} } に対して f−1(O)∈Mf^{-1} ( O ) \in \mathcal{M} であるから、すべての開区間 (a,b)⊂R‾(a,b) \subset \overline{ \mathbb{R} } に対しても f−1(a,b)∈Mf^{-1} (a,b) \in \mathcal{M} である。

可測関数の定義により、ff は可測関数である。

■

  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p57. ↩︎