📂測度論

ルベーグ可測関数

定義 ¹

関数 $f: E \in \overline{ \mathbb{R} }$ が全ての区間 $I \subset \overline{ \mathbb{R} }$ に対して $$ f^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{M} $$ であれば、$f$ を (ルベーグ) 可測^{(Lesbegue) Measurable}と言う。

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• $\overline{ \mathbb{R} } = \mathbb{R} \cup \left\{ - \infty , + \infty \right\}$ は、正負の無限大を含む $1$次元ユークリッド空間 の拡張実数空間を指す。

同値条件

以下の命題は互いに同値である。

• (1): $f$ はルベーグ可測関数である。
• (2): すべての $r \in \mathbb{R}$ に対して $f^{-1} ( - \infty , r ] \in \mathcal{M}$
• (3): すべての $r \in \mathbb{R}$ に対して $f^{-1} (r, \infty ) \in \mathcal{M}$
• (4): すべての $r \in \mathbb{R}$ に対して $f^{-1} ( - \infty , r ) \in \mathcal{M}$
• (5): すべての $r \in \mathbb{R}$ に対して $f^{-1} [r, \infty ) \in \mathcal{M}$

定理

• [1]: $f$ が可測であるための必要十分条件は、すべての開集合 $O$ に対して $f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$ であることである。
• [2]: $D \subset E$、$D \in \mathcal{M}$ の時、$f |_{E}$ が可測であるための必要十分条件は、$f |_{D}$、$f |_{E \setminus D}$ が可測であることである。

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• $f |_{X}$ は、定義域を $X$ に制限し、$f = f |_{X}$ を満たす縮小写像を意味する。
• 指示関数^{indicator function}とは、ある集合に属すれば $1$、そうでなければ $0$ を返す関数 $$\displaystyle \mathbb{1}_{E} (x) = \chi _{E} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in E \\ 0 & , x \notin E \end{cases}$$ である。この定義は $E \in \mathcal{M}$ という条件を省略しているため、注意が必要である。

説明

より容易な操作のために、原像の定義である $f^{-1} (-\infty , r) = \left\{ x \in E \ | \ f(x) < r \right\}$ をそのまま使用する方が便利である。

ルベーグ可測関数の条件の下で全ての区間 $I \subset \mathbb{R}$ が $f^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{B}$ を満たす場合、それは ボレル可測^{borel Measurable}と呼ばれ、ボレル関数^{borel function}と呼ばれる。

拡張実数 $\overline{\mathbb{R}} : = [ - \infty, \infty]$ は、実数全体と無限大も一点として含むものである。これまでの解析学で無限は非常に難しく恐ろしい概念であったが、今は単に征服すべき対象に過ぎない。あまり怖がらずに、高校時代の柔軟な思考を取り戻そう。

一般的な可測空間を考えるとき、[1] は可測関数の定義にもなり得る。

証明

[1]

閉区間の場合、開区間の両端に2点を加えるだけで十分であるため、開区間だけを考えれば十分である。

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$(\Rightarrow)$

開区間 $A_{k} := (a_{k}, \infty)$、$B_{k} := (b_{k}, \infty)$ を定義すると、$f$ が可測関数であるため、 $$f^{-1} (A_{k}), f^{-1} (B_{k}) \in \mathcal{M}$$ 任意の開集合 $O \subset \overline{ \mathbb{R} }$ は $\displaystyle O = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k}$ として表すことができるため、 $$\displaystyle f^{-1} ( O ) = f^{-1} \left[ \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k} \right] = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left[ f^{-1} (B_{k}) \cap f^{-1} (B_{k}) \right]$$ σ-フィールドの性質により $f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$ である。

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$(\Leftarrow)$ すべての開集合 $O \subset \overline{ \mathbb{R} }$ に対して $f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$ であるから、すべての開区間 $(a,b) \subset \overline{ \mathbb{R} }$ に対しても $f^{-1} (a,b) \in \mathcal{M}$ である。

可測関数の定義により、$f$ は可測関数である。

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