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コンパクトなハウスドルフ空間は正則空間である 📂位相幾何学

コンパクトなハウスドルフ空間は正則空間である

定理 1

  • [3]: ハウスドルフ空間XXの二つのコンパクト部分集合A,BXA,B \subset XAB=A \cap B = \emptysetである場合、以下を満たす開集合U,VXU, V \subset Xが存在する。 AUBVUV= A \subset U \\ B \subset V \\ U \cap V = \emptyset

解説

定理12から、ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合であることがすぐにわかる。一方、定理4で、コンパクトであることはT4    T2T_{4} \implies T_{2}の逆を成立させるための追加条件であることがわかる。

証明

1

コンパクト空間XXに対して、AXA \subset XXXで閉集合であり、O\mathscr{O}AAの開被覆としよう。

AAは閉集合なので、O:=O{XA}\mathscr{O}’ : = \mathscr{O} \cup \left\{ X \setminus A \right\}XXの開被覆である。XXはコンパクトなので、 AXi=1nOi A \subset X \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i} を満たす有限の開被覆{Oi}i=1n\left\{ O_{i} \right\}_{i=1}^{n}が存在する。したがって、AAはコンパクトである。

2

ハウスドルフ空間XXにおいて、AXA \subset Xがコンパクトであり、xXAx \in X \setminus Aとする。

XXはハウスドルフ空間なので、すべてのyAy \in Aに対して、以下を満たす開集合Uy,VyXU_{y}, V_{y} \subset Xが存在する。 yUyxVyUyVy= y \in U_{y} \\ x \in V_{y} \\ U_{y} \cap V_{y} = \emptyset コンパクト部分集合はAAに対して、あるnNn \in \mathbb{N}に対して、 Ai=1nUyi A \subset \bigcup_{i=1}^{n} U_{y_{i}} を満たす{yi}i=1n\left\{ y_{i} \right\}_{i=1}^{n}が存在する。集合U,VU, VU:=i=1nUyiV:=i=1nVyi U := \bigcup_{i=1}^{n} U_{y_{i}} \\ \displaystyle V := \bigcap_{i=1}^{n} V_{y_{i}} のように定義すると、U,VXU,V \subset Xは開集合であり、UV=U \cap V = \emptysetである。一方で、xVx \in VおよびAUA \subset Uなので、 xV(XU)(XA) x \in V \subset (X \setminus U) \subset (X \setminus A) したがって、すべての開集合V(XA)V \subset \left( X \setminus A \right)の和集合V(XA)V=XA\displaystyle \bigcup_{V \subset (X \setminus A)} V = X \setminus Aは開集合であり、AAは閉集合である。

[3]

ハウスドルフ空間XXに対して、コンパクト部分集合A,BXA,B \subset XAB=A \cap B = \emptysetであるとする。

するとxBx \in Bに対して、 AUxxVxUxVx= A \subset U_{x} \\ x \in V_{x} \\ U_{x} \cap V_{x} = \emptyset を満たす開集合Ux,VxXU_{x}, V_{x} \subset Xが存在する。また、BBはコンパクトなので、Bi=1nVxi\displaystyle B \subset \bigcup_{i=1}^{n} V_{x_{i}}を満たす{xi}i=1n\left\{ x_{i} \right\}_{i=1}^{n}が存在する。集合U,VU, VU:=i=1nUxiV:=i=1nVxi U := \bigcap_{i=1}^{n} U_{x_{i}} \\ \displaystyle V := \bigcup_{i=1}^{n} V_{x_{i}} のように定義すると、開集合U,VU, Vは以下を満たす。 UV=AUBV U \cap V = \emptyset \\ A \subset U \\ B \subset V

4

コンパクトハウスドルフ空間XXに対して、A,BXA,B \subset XXXの部分集合であり、AB=A \cap B = \emptysetであるとする。

XXはコンパクト空間なので、A,BXA,B \subset Xはコンパクト部分集合であり、定理2によればA,BA,BXXの閉部分集合である。また、XXはハウスドルフ空間なので、定理[3]によれば、コンパクト部分集合A,BXA,B \subset Xに対して AUBVUV= A \subset U \\ B \subset V \\ U \cap V = \emptyset を満たす開集合U,VXU,V \subset Xが存在する。したがって、XXは正則空間である。

一方で、定理12から、次の帰結を得る。

帰結

コンパクトハウスドルフ空間XXに対して、AXA \subset XXXで閉集合であることとコンパクトであることは同値である。


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p165~167, 202. ↩︎