📂線形代数

線形結合、生成

定義: 線形組み合わせ¹

$\mathbf{w}$をベクトル空間$V$のベクトルとする。もし$\mathbf{w}$が$V$のベクトル$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}$と任意の定数$k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$によって以下のように表されるなら、$\mathbf{w}$は$\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}$の線形組み合わせ^{linear combination}、または一次組み合わせという。

$$ \mathbf{w} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} $$

この場合、定数$k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$は線形組み合わせ$\mathbf{w}$の係数^coefficientsと呼ばれる。

解説

式で示されると見慣れないかもしれないが、難しい概念ではない。2次元直交座標系でのベクトル表示は、まさに二つの単位ベクトル$\hat{\mathbf{x}} = (1,0)$と$\hat{\mathbf{y}} = (0,1)$の線形組み合わせである。

$$ \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}) = (v_{1},0)+(0,v_{2}) = v_{1}(1,0) + v_{2}(0,1) = v_{1}\hat{\mathbf{x}} + v_{2} \hat{\mathbf{y}} $$

定理

$S = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}$をベクトル空間$V$の空でない部分集合とする。すると、以下が成り立つ。

(a) $S$の要素の全ての可能な線形組み合わせの集合を$W$としよう。$W$は$V$の部分空間である。

(b) **(a)**の$W$は$S$を含む$V$の部分空間の中で最小の部分空間である。つまり、$W^{\prime}$を$S$を含む$V$の部分空間とすると、次の式が成立する。

$$ S \subset W \le W^{\prime} $$

証明

(a)

$W$が加算とスカラー倍に対して閉じているかを確認するためには、部分空間判定法を適用する。

$$ \mathbf{u} = c_{1} \mathbf{w}_{1} + c_{2} \mathbf{w}_{2} + \cdots + c_{r} \mathbf{w}_{r}, \quad \mathbf{v} = k_{1} \mathbf{w}_{1} + k_{2} \mathbf{w}_{2} + \cdots + k_{r} \mathbf{w}_{r} $$

• (A1)

  $\mathbf{u}+\mathbf{v}$は以下のようになる。

  $$ \mathbf{u} +\mathbf{v} = ( c_{1} + k_{1} ) \mathbf{w}_{1} + ( c_{2} + k_{2} ) \mathbf{w}_{2} + \cdots + ( c_{r} + k_{r} ) \mathbf{w}_{r} $$

  これは$\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}$の線形組み合わせなので、$\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$が成り立つ。

• (M1)

  任意の定数$k$に対して、$k\mathbf{u}$は以下のようになる。

  $$ k\mathbf{u} = ( k c_{1} ) \mathbf{w}_{1} + ( k c_{2} ) \mathbf{w}_{2} + \cdots + ( k c_{r} ) \mathbf{w}_{r} $$

  これは$\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}$の線形組み合わせなので、$k\mathbf{u} \in W$が成り立つ。

• 結論

  $W$が加算とスカラー倍に対して閉じているので、部分空間判定法により、$W$は$V$の部分空間である。

  $$ W \le V $$

■

(b)

$W^{\prime}$を$S$を含む$V$の部分空間とする。すると、$W^{\prime}$は加算とスカラー倍に対して閉じているので、$S$の要素の全ての線形組み合わせは$W^{\prime}$の要素である。従って、

$$ W \le W^{\prime} $$

■

定義: 生成

定理の$W$は$S$によって生成された^spanned$V$の部分空間という。また、ベクトル$\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}$が$W$を生成する^spanと言い、以下のように表記される。

$$ W = \text{span}\left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\} \quad \text{or} \quad W = \text{span}(S) $$

解説

生成という概念が必要な理由は、ある要素を含む最小の集合を考えるためである。実際、上の定理でこの点を確認することができる。さらに、$S$自体から重複する要素をすべて除くと、これはベクトル空間の基底になる。

定理

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}$と$S^{\prime} = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}$をベクトル空間$V$の空でない部分集合とする。すると、

$$ \text{span} \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} = \text{span} \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\} $$

必要十分条件は、$S$の全てのベクトルが$S^{\prime}$のベクトルの線形組み合わせとして表され、$S^{\prime}$の全てのベクトルが$S$のベクトルの線形組み合わせとして表されることである。