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線形結合、生成 📂線形代数

線形結合、生成

定義: 線形組み合わせ1

w\mathbf{w}をベクトル空間VVのベクトルとする。もしw\mathbf{w}がVVのベクトルv1,v2,⋯ ,vr\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}と任意の定数k1,k2,⋯ ,krk_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}によって以下のように表されるなら、w\mathbf{w}はv1,v2,⋯ ,vr\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r}の線形組み合わせlinear combination、または一次組み合わせという。

w=k1v1+k2v2+⋯+krvr \mathbf{w} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r}

この場合、定数k1,k2,⋯ ,krk_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}は線形組み合わせw\mathbf{w}の係数coefficientsと呼ばれる。

解説

式で示されると見慣れないかもしれないが、難しい概念ではない。2次元直交座標系でのベクトル表示は、まさに二つの単位ベクトルx^=(1,0)\hat{\mathbf{x}} = (1,0)とy^=(0,1)\hat{\mathbf{y}} = (0,1)の線形組み合わせである。

v=(v1,v2)=(v1,0)+(0,v2)=v1(1,0)+v2(0,1)=v1x^+v2y^ \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}) = (v_{1},0)+(0,v_{2}) = v_{1}(1,0) + v_{2}(0,1) = v_{1}\hat{\mathbf{x}} + v_{2} \hat{\mathbf{y}}

定理

S={w1,w2,…,wr}S = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}をベクトル空間VVの空でない部分集合とする。すると、以下が成り立つ。

(a) SSの要素の全ての可能な線形組み合わせの集合をWWとしよう。WWはVVの部分空間である。

(b) **(a)**のWWはSSを含むVVの部分空間の中で最小の部分空間である。つまり、W′W^{\prime}をSSを含むVVの部分空間とすると、次の式が成立する。

S⊂W≤W′ S \subset W \le W^{\prime}

証明

(a)

WWが加算とスカラー倍に対して閉じているかを確認するためには、部分空間判定法を適用する。

u=c1w1+c2w2+⋯+crwr,v=k1w1+k2w2+⋯+krwr \mathbf{u} = c_{1} \mathbf{w}_{1} + c_{2} \mathbf{w}_{2} + \cdots + c_{r} \mathbf{w}_{r}, \quad \mathbf{v} = k_{1} \mathbf{w}_{1} + k_{2} \mathbf{w}_{2} + \cdots + k_{r} \mathbf{w}_{r}

  • (A1)

    u+v\mathbf{u}+\mathbf{v}は以下のようになる。

    u+v=(c1+k1)w1+(c2+k2)w2+⋯+(cr+kr)wr \mathbf{u} +\mathbf{v} = ( c_{1} + k_{1} ) \mathbf{w}_{1} + ( c_{2} + k_{2} ) \mathbf{w}_{2} + \cdots + ( c_{r} + k_{r} ) \mathbf{w}_{r}

    これはw1,w2,…,wr\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}の線形組み合わせなので、u+v∈W\mathbf{u} + \mathbf{v} \in Wが成り立つ。

  • (M1)

    任意の定数kkに対して、kuk\mathbf{u}は以下のようになる。

    ku=(kc1)w1+(kc2)w2+⋯+(kcr)wr k\mathbf{u} = ( k c_{1} ) \mathbf{w}_{1} + ( k c_{2} ) \mathbf{w}_{2} + \cdots + ( k c_{r} ) \mathbf{w}_{r}

    これはw1,w2,…,wr\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}の線形組み合わせなので、ku∈Wk\mathbf{u} \in Wが成り立つ。

  • 結論

    WWが加算とスカラー倍に対して閉じているので、部分空間判定法により、WWはVVの部分空間である。

    W≤V W \le V

■

(b)

W′W^{\prime}をSSを含むVVの部分空間とする。すると、W′W^{\prime}は加算とスカラー倍に対して閉じているので、SSの要素の全ての線形組み合わせはW′W^{\prime}の要素である。従って、

W≤W′ W \le W^{\prime}

■

定義: 生成

定理のWWはSSによって生成されたspannedVVの部分空間という。また、ベクトルw1,w2,…,wr\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r}がWWを生成するspanと言い、以下のように表記される。

W=span{w1,w2,…,wr}orW=span(S) W = \text{span}\left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\} \quad \text{or} \quad W = \text{span}(S)

解説

生成という概念が必要な理由は、ある要素を含む最小の集合を考えるためである。実際、上の定理でこの点を確認することができる。さらに、SS自体から重複する要素をすべて除くと、これはベクトル空間の基底になる。

定理

S={v1,v2,…,vr}S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}とS′={w1,w2,…,wr}S^{\prime} = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}をベクトル空間VVの空でない部分集合とする。すると、

span{v1,v2,…,vr}=span{w1,w2,…,wr} \text{span} \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} = \text{span} \left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{r} \right\}

必要十分条件は、SSの全てのベクトルがS′S^{\prime}のベクトルの線形組み合わせとして表され、S′S^{\prime}の全てのベクトルがSSのベクトルの線形組み合わせとして表されることである。

  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Applications Version (12th Edition, 2019), p220-222 ↩︎