デカルト座標系におけるベクトル、内積、外積の微分
📂数理物理学デカルト座標系におけるベクトル、内積、外積の微分
公式
A=Axx^+Ayy^+Azz^,B=Bxx^+Byy^+Bzz^を3次元直交座標系でのベクトルとしよう。nを任意のスカラーとする。すると、次の式が成立する。
(a) dtd(nA)=dtdnA+ndtdA
(b) dtd(A⋅B)=dtA⋅B+A⋅dtdB
(c) dtd(A×B)=dtdA×B+A×dtdB
説明
高校生の頃から知っている積の微分法を思い出すと、結果を自然に受け入れることができるだろう。まずAの導関数を計算してみよう。
dtdA====dtd(Axx^+Ayy^+Azz^)dtdAxx^+Axdtdx^+dtdAyy^+Aydtdy^+dtdAzz^+Azdtdz^dtdAxx^+dtdAyy^+dtdAzz^(dtdAx,dtdAy,dtdAz)
各方向の単位ベクトルは時間によって変わらないため、微分した時に0である。この結果からベクトル関数の導関数もやはりベクトル関数であることがわかる。また、次の式も成立することがわかる。
(dtdA)x=dtdAx
しかし、この式は一般的に成立するわけではなく、直交座標系でのみ成立するので注意が必要である。単位ベクトルが時間によって変わる場合には成立しない。例えば極座標系での速度と加速度は次のようである。
v=a=r˙r^+rθ˙θ^(r¨−rθ˙2)r^+(2r˙θ˙+rθ¨)θ^
すると、以下の等式が成立しないことがわかる。
(dtdv)θ=aθ=2r˙θ˙+rθ¨=r˙θ˙+rθ¨=dtdvθ
証明
(a)
dtd(nA)====dtd(nAxx^+nAyy^+nAzz^)(dtdnAx+ndtdAx)x^+(dtdnAy+ndtdAy)y^+(dtdnAz+ndtdAz)z^dtdn(Axx^+Ayy^+Azz^)+n(dtdAxx^+dtdAyy^+dtdAzz^)dtdnA+ndtdA
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(b)
dtd(A⋅B)=====dtd(AxBx+AyBy+AzBz)(dtdAxBx+AxdtdBx)+(dtdAyBy+AydtdBy)+(dtdAzBz+AzdtdBz)(dtdAxBx+dtdAyBy+dtdAzBz)+(AxdtdBx+AydtdBy+AzdtdBz)[(dtdA)xBx+(dtdA)yBy+(dtdA)zBz]+[Ax(dtdB)x+Ay(dtdB)y+Az(dtdB)z]dtdA⋅B+A⋅dtdB
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(c)
dtd(A×B)====dtd[x^(AyBz−AzBy)+y^(AzBx−AxBz)+z^(AxBy−AyBx)]x^(dtdAyBz+AydtdBz−dtdAzBy–AzdtBy)+y^(dtdAzBx+AzdtdBx−dtdAxBz–AxdtBz)+z^(dtdAxBy+AxdtdBy−dtdAyBx–AydtBx)[x^(dtdAyBz−dtdAzBy)+y^(dtdAzBx−dtdAxBz)+z^(dtdAxBy−dtdAyBx)]+[x^(AydtdBz−AzdtdBy)+y^(AzdtdBx−AxdtdBz)+z^(AxdtdBy−AydtdBx)]dtdA×B+A×dtdB
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