📂微分方程式

分離可能な一階微分方程式

定義¹

1次微分方程式が下記の条件を満たす時、分離可能と言う。

$$f(x)+g(y)\dfrac{dy}{dx}=0 \quad \text{or} \quad f(x)dx = -g(y)dy$$

説明

色々な形で表現できるが、大事な点は両辺に各変数が分離されなければならないということだ。このように二つの変数を分けて解を見つける方法を変数分離法と呼ぶ。

分離可能とは非常に良い条件で、与えられた微分方程式が分離可能なら、解を簡単に見つけることができる。一方で変数分離がされない場合は、色々な方法を通じて分離可能な形にする。つまり、1次微分方程式を解く方法は色々あるが、その本質は結局変数分離であるということだ。

解答

$$\begin{align*} && g(y)\dfrac{dy}{dx} + f(x)&=0 \\ \implies && g(y)\dfrac{dy}{dx} &=-f(x) \\ \implies && g(y)dy &=-f(x)dx \\ \implies && \int g(y)dy& =-\int f(x)dx+C \end{align*}$$

この時$C$は積分定数だ。積分後、左辺を$y$に対して整理すれば良い。

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例

$\dfrac{dy}{dx}+y=0$の一般解を求めよ。

$$\begin{align*} &&\dfrac{dy}{dx}& =-y \\ \implies && \dfrac{1}{y}dy&=-dx \\ \implies && \int \dfrac{1}{y} dy &=-\int dx \\ \implies &&\ln y &=-x+C \\ \implies && y&=e^{-x+C}=e^{-x}e^C=Ce^{-x} \end{align*}$$ 初期値が$y(0)=y_{0}$ならば$y(0)=C=y_{0}$を得るので

$$y(x)=y_{0}e^{-x}$$

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核の放射性崩壊

放射性核が単位時間当たりに崩壊する個数は核の個数$N$に比例する。

$$\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N$$

ここで$\lambda$は崩壊定数といる。

$$\begin{align*} && \dfrac{dN}{dt} &=-\lambda N \\ \implies && \dfrac{1}{N}dN&=-\lambda dt \\ \implies && \int \dfrac{1}{N}dN &=-\int \lambda dt \\ \implies && \ln N &=-\lambda t+C \\ \implies && N&=Ce^{-\lambda t} \end{align*}$$

初期値が$N(0)=N_{0}$ならば$N(0)=C=N_{0}$を得るので

$$N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$$

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