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有限交差性質 📂位相幾何学

有限交差性質

定義 1

位相空間 をXXとし、A⊂P(X)\mathscr{A} \subset \mathscr{P} (X)とする。全ての有限の部分集合 A⊂AA \subset \mathscr{A} に対して、⋂A≠∅\displaystyle \bigcap A \ne \emptyset ならば AA が 有限交差性質finite Intersection Propertyを持つという。

説明

AA が f.i.p. を持つということは、開集合 Uα⊂AU_{\alpha} \subset A に対して常に以下が成立することと同じである。 ⋂i=1n(X∖Ui)≠∅  ⟹  ⋂α∈∀(X∖Uα)≠∅ \bigcap_{i=1}^{n} \left( X \setminus U_{i} \right) \ne \emptyset \implies \bigcap_{\alpha \in \forall } \left( X \setminus U_{\alpha} \right) \ne \emptyset

この性質は位相空間ではなく、一般的な集合に関する性質であることに注意しよう。例えば、{[0,1n] ∣ n∈N}\displaystyle \left\{ \left. \left[ 0 , {{1} \over {n}} \right] \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} は、位相を指定しなくても、ただ f.i.p. を持っていると言える。

以下の定理はコンパクトの必要十分条件を語っており有用だが、記述することが冗長であり証明も非常に理解しづらい。自己嫌悪になっても、コンパクトが本来難しいので、そう思っておこう。

定理

XXがコンパクトである必要十分条件は、閉じた全てのAα⊂XA_{\alpha} \subset Xに対して⋂α∈∀Aα≠∅\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptysetが成立することである。

証明

開集合 OαO_{\alpha} と閉集合 CαC_{\alpha} に対して、以下が成立する。 X∖(⋂Cα)=⋃(X∖Cα)=⋃Oα X \setminus \left( \bigcap C_{\alpha} \right) = \bigcup \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = \bigcup O_{\alpha}

(  ⟹  )( \implies )

C:={Cα ∣ α∈∀}\mathscr{C} := \left\{ C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}がXXの閉集合を要素に持ち、f.i.p.を持つとすると、O:={Oα=X∖Cα ∣ α∈∀}\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} = X \setminus C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}はXXの開集合を要素に持つ集合になる。

⋂α∈∀Cα=∅\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \emptyset と仮定すると ⋃α∈∀(X∖Cα)=X∖(⋂α∈∀Cα)=X∖∅=X \bigcup_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = X \setminus \left( \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \right) = X \setminus \emptyset = X 従って、X⊂OX \subset \mathscr{O}、即ち O\mathscr{O} はXXの開カバーとなる。XX はコンパクトであるため、X=⋃i=1n(X∖Ci)\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) を満たす有限の開カバー O′={X∖Ci ∣ i=1,2,⋯ ,n}\mathscr{O} ' = \left\{ X \setminus C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\} が存在する。一方 X=⋃i=1n(X∖Ci)=X∖⋂i=1nCi X = \bigcup_{i = 1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} だから、⋂i=1nCi=∅\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset である。これはC\mathscr{C}が f.i.p. を持っているという前提に矛盾するので、⋂α∈∀Cα≠∅\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \ne \emptyset でなければならない。

(  ⟸  )( \impliedby )

O:={Oα ∣ α∈∀}\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\} をXXの開カバーとすると、C:={X∖Oα ∣ α∈∀}\mathscr{C} := \left\{ X \setminus O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\} はXXの閉集合を要素に持つ集合となる。

一方 ⋂α∈∀Cα=⋂α∈∀(X∖Oα)=X∖⋃α∈∀Oα=X∖X=∅ \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \bigcap_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus O_{\alpha} \right) = X \setminus \bigcup_{\alpha \in \forall} O_{\alpha} = X \setminus X = \emptyset 従って、f.i.p. を持たず、⋂i=1nCi=∅\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset を満たすC′={Ci ∣ i=1,2,⋯ ,n}\mathscr{C} ' = \left\{ C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\}が存在する。そして、 X∖⋃i=1nOi=X∖⋃i=1n(X∖Ci)=X∖(X∖⋂i=1nCi)=⋂i=1nCi=∅ X \setminus \bigcup_{i = 1}^{n} O_{i} = X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \left( X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \right) = \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset 従って、X⊂⋃i=1nOi\displaystyle X \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}である。つまり、有限の部分カバー {O1,O2,⋯ ,On}\left\{ O_{1}, O_{2}, \cdots , O_{n} \right\} が存在して、XX はコンパクトになる。

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  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p169. ↩︎