📂レンマ

e^{x^2}形の不定積分

定理

$$\int e^{x^2}dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}+C$$

説明

$e^{-x^{2}}$のように、一般的な方法では積分するのが難しい。エラー関数^{error function, imaginary error function, erfi}を定義して積分する方法もあるけど、この記事ではテイラー級数展開を使った解法を紹介する。

証明

テイラー級数展開方法によって、

$$e^{x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2!} + \cdots + \dfrac{x^{n}}{n!} + \cdots$$

$x$の代わりに$x^2$を入れれば、

$$e^{x^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^{2n}}{n!}=1+x^2+\dfrac{x^4}{2!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{n!}+\cdots$$

両辺を不定積分すれば、

$$\begin{align*} \int e^{x^2}dx =&\ \int (1+x^2+\dfrac{x^4}{2!}+\cdots +\dfrac{x^{2n}}{n!}+\cdots)dx \\ =&\ x + \dfrac{x^3}{3 \cdot 1!} + \dfrac{x^5}{5 \cdot 2!}+\dfrac{x^7}{7 \cdot 3!}+ \cdots +\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}+\cdots +C \end{align*}$$

だから、

$$\int e^{x^2}dx=\sum \limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}+C$$

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