📂関数

サインの二乗プラスコサインの二乗が1に等しいことの証明

公式

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

証明

1-コサインの加法公式

コサインの加法定理を使えば、すごく簡単にわかる。

$$\cos(\theta_{1}-\theta_2)=\cos\theta_{1}\cos\theta_2 + \sin\theta_{1}\sin\theta_2$$

ここで、$\theta_{1}$, $\theta_2$の代わりに$\theta$を代入すると

$$\cos(\theta-\theta)=\cos^2\theta + \sin^2\theta$$

$$\implies \cos(\theta-\theta)=\cos 0=1$$

$$\implies \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

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2-ピタゴラスの定理

半径が1の単位円がある。単位円の半径、単位円の点接で$x$軸に下ろした垂線、$x$軸が形成する三角形を見よう。底辺の長さは$\cos\theta$、高さの長さは$\sin\theta$、斜辺の長さは$1$だ。したがって、ピタゴラスの定理によると

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

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