外測度
📂測度論外測度
定義
E⊂R, {In∈I ∣ n∈N}, {En∈P(R) ∣ n∈N}において、関数m∗(E):=infZEを外測度outer measureと呼ぶ。
基本性質
外測度は以下の性質を持つ。
- [1] 長さの一般化: I∈I⟹m∗(I)=l(I)
- [2] 正符号性: N∈N⟺m∗(N)=0
- [3] 単調性: E1⊂E2⟹m∗(E1)≤m∗(E2)
- [4] 変換不変性: t∈R⟹m∗(E)=m∗(E+t)
- [5] 可算劣加法性: m∗(n=1⋃∞En)≤n=1∑∞m∗(En)
説明
ZEの要素が距離の合計であるので、ZEは下に有界であり、infZEの存在は自明である。条件ではE⊂n=1⋃∞Inを満たさなければならず、最小のinfを選ぶことは「外側から範囲を絞る」ことと考えることができる。そのため、外測度は**(Lebesgue)外測度**とも呼ばれ、この名前付けは妥当であると言えるだろう。
性質[1]から推測できるように、外測度は「長さ」を一般化するために考案された概念である。自然と、我々が直感的に、慣習的に使用してきた長さをカバーできなければならない。この意味で、[2]〜[5]のような性質は必須であり、それがなければ一般化とは言い難い。
特に[5]を見ると、ノルムの三角不等式に似た面があり、項の数が可算的に増えたという違いがある。常識的に、すべてのi=jに対し、Ei∩Ej=∅の時
m∗(n=1⋃∞En)=n=1∑∞m∗(En)
が成立するならば、つまりm∗(n=1⨆∞En)=n=1∑∞m∗(En)が成立するならば、長さの一般化は成功したと言えるだろう。(ここで⨆は互いに素な集合の和集合を意味する記号である。)
外測度の限界
問題は、これほど強い条件を設定したにも関わらず、異常な反例が存在し、等式を成立させることができなかったことである。この等式を満たすために、数学者たち、特にルベーグは新しい条件を探し始めることになる。
反例
すべてのi=jに対し、以下は常に成立しない。
Ei∩Ej=∅⟹m∗(n=1⨆∞En)=n=1∑∞m∗(En)
反証
Ei∩Ej=∅⟹m∗(n=1⨆∞En)=n=1∑∞m∗(En)の反例を示せば十分である。
x,y∈[0,1]とy−x∈Qならばx∼yである関係を定義すれば、∼が同値関係であることは容易に示せる。∼は同値類Aαを決定し、[0,1]が非可算であるため、すべてのα∈[0,1]に対してAαが存在し、Aαは非可算的に多い。一方x∈Aαとq∈Q∩[0,1]に対してx−(x−q)=q∈Qが成立するため、それぞれのAαは可算集合である。
これで、すべてのAαから元をひとつずつ選んで集めた集合Eを考える。このような集合Eを構成できることは選択公理により保証されている。
すると、任意のqn∈Q∩[0,1]に対してEn:=E+qnを定義できる。z∈Ei∩Ejと仮定すると
aα+qi=z=aβ+qjaα−aβ=qj−qi∈Q
であり、これはaα−aβ∈Qを意味し、aαとaβがあるAλに同時に属していることを意味する。しかし、Eは各Aαからひとつの元だけを選んできたので、矛盾が発生し、したがってi=jに対してEi∩Ej=∅が成立しなければならない。
一方で、[0,1]⊂n=1⨆∞En⊂[−1,2]であるため、[3] 単調性により
m∗[0,1]≤m∗(n=1⨆∞En)≤m∗[−1,2]
m∗(n=1⨆∞En)=n=1∑∞m∗(En)が成立すると仮定すると
1≤n=1∑∞m∗(En)≤3
[4] 変換不変性によりm∗(En)=m∗(E+qn)=m∗(E)であるため、
1≤n=1∑∞m∗(En)=m∗(E)+m∗(E)+⋯≤3
1≤n=1∑∞m∗(E)であるためにはn=1∑∞m∗(E)=∞でなければならず、n=1∑∞m∗(E)≤3であるためにはn=1∑∞m∗(E)=0でなければならない。これら二つの条件を同時に満たすことは不可能であるため、
m∗(n=1⨆∞En)=n=1∑∞m∗(En)
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反例だけでなく、このような反例を思いつく脳がこの世に存在したことがさらに衝撃的だ。もし、類似していない、独創的な反例を発見したら、精神病院か大学院のどちらかを必ず訪れることをおすすめする。