📂位相幾何学

中間値の定理の証明

定義 ¹

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ が連続ならば、$f(a)$ と $f(b)$ の間にある $y_{0}$ に対して $y_{0} = f(c)$ を満たす $c \in (a,b)$ が存在する。

説明

対偶を利用すれば、$\mathbb{R}^2$ において特定の条件を満たした二つの形を結ぶ曲線がないことを示すことができる。

系

一方で、中間値の定理には次のように多くの有用な系がある。

方程式 $f(x)=0$ の解の存在判定法：連続関数 $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ において $f(a) f(b) < 0$ ならば $f(x) = 0$ は解 $x_{0} \in [a,b]$ を持つ。

この事実は入試数学や数値解析の二分法などにも使われるなど非常に重要である。

中間値の定理の不動点定理フォーム：$[a,b]$ と $f[a,b]$ が包含関係にある場合、連続関数 $f$ は $[a,b]$ で不動点を持つ。

中間値の定理を利用すれば、簡単に使える不動点定理を得ることができる。条件を数式で表すと $[a,b] \subset f[a,b]$ または $f[a,b] \subset [a,b]$ で、当然ながら $f[a,b] = [a,b]$ を同時に満たす場合も成立する。通常、不動点定理と言うときは $f[a,b] \subset [a,b]$ が条件なので $[a,b] \subset f[a,b]$ の時も成立するというのが新鮮に思えるかもしれないが、少なくとも中間値の定理の系としては過度に一般的な条件を考える必要がないので、当然の事実として受け入れても良い。

証明

戦略：位相数学的な補助定理を動員する。非常に重要な定理だが、高校では証明なしで受け入れ、解析学の時はあまりにも難しく証明される。上の理論を使わない証明もそれなりに意味はあるが、中間値の定理の位相的証明はあまりにも簡単で、その誘惑を振り払うのは容易ではない。

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連結性は位相的性質であり、$f$ が連続なので$f[a,b]$ も連結空間である。

$f(a) \in V^{\circ}$ を満たすすべての $V \subset Y$ に対して、$f(c) = y_{0}$ を満たす $c \in (a,b)$ が存在する

連続関数の性質により、$f(c) = y_{0}$ を満たす $c \in (a,b)$ が存在する。

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