📂物理学

運動量保存の法則：簡単な証明（高校レベル）

定理

外力が作用しない場合、力（内力）の作用前後の運動量の総和は一定である。簡単に言えば、二つの物体が衝突する時、衝突前の各物体の運動量の合計と衝突後の各物体の運動量の合計は同じである。

$$m_{1}v_{1}+m_2v_2=m_{1}{v_{1}}^{\prime}+m_2{v_2}^{\prime}$$

証明（高校レベル）

二つの物体 $A, B$が衝突する時、作用・反作用の法則によって、互いが互いに及ぼす力は大きさは同じで方向は反対である。$A$が$B$に与える力は

$$\begin{equation} F=F_{AB} \end{equation}$$

$B$が$A$に与える力は

$$\begin{equation} -F=F_{BA} \end{equation}$$

二物体が衝突する時、衝突した時間はお互い同じである。$(1)$と$(2)$によって、

$$\begin{equation} Ft+(-F)t=0 \end{equation}$$

力に作用した時間をかけると$(Ft)$衝撃量$(I)$であり、衝撃量は運動量の変化量と同じである。したがって、

$$\begin{equation} \begin{cases} Ft=I_{B}=\Delta p_{B}=m_{B}{v_{B}}^{\prime}-m_{B}v_{B} \\ (-F)t=I_{A}=\Delta p_{A}=m_{A}{v_{A}}^{\prime}-m_{A}v_{A} \end{cases} \end{equation}$$

$(3)$と$(4)$を連立すると、

$$m_{B}{v_{B}}^{\prime}-m_{B}v_{B}+m_{A}{v_{A}}^{\prime}-m_{A}v_{A} =0 \\ \implies m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B} = m_{A}{v_{A}}^{\prime}+m_{B}{v_{B}}^{\prime}$$

したがって、各物体の衝突前後の運動量の合計は保存される。力学的エネルギーは働いている力が保存力の時にしか保存されないが、運動量は外力が作用しない場合は常に保存される。実は、運動量の保存の法則は作用・反作用の法則よりももっと一般的な法則だが、高校レベルではそこまで厳密に扱われていないようだ。