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三角関数の加法定理：様々な証明 📂関数

三角関数の加法定理：様々な証明

定理

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βsin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡βcos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βtan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡βtan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β \sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\ \tan\left( \alpha +\beta \right) =\frac { \tan\alpha +\tan\beta }{ 1-\tan\alpha \tan\beta } \\ \tan\left( \alpha -\beta \right) =\frac { \tan\alpha -\tan\beta }{ 1+\tan\alpha \tan\beta }

証明

コサイン法則を用いた証明

1.png

ピタゴラスの定理によると AB‾2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2=2−2cos⁡αcos⁡β–2sin⁡αsin⁡β \begin{align*} {\overline { AB } } ^{ 2 } =& {( \cos \alpha -\cos \beta )}^{ 2 }+{(\sin\alpha -\sin\beta )}^{ 2 } \\ =& 2-2 \cos \alpha \cos \beta –2 \sin \alpha \sin \beta \end{align*}

第二コサイン法則により

AB‾2=12+12−2cos⁡(β−α)=2−2cos⁡(β−α) \begin{align*} { \overline { AB } } ^{ 2 } =& 1^{ 2 }+1^{ 2 }-2\cos(\beta -\alpha ) \\ =& 2-2\cos(\beta -\alpha ) \end{align*}

これら二つの式の右辺は等しいので

cos⁡(β−α)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \cos(\beta -\alpha )=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta

■

最も基本的な証明法で、色々な方法があるけど、最初は普通この方法に触れる。

ベクトルの内積を用いた証明

cos⁡(β−α)=OA⃗⋅OB⃗∣OA⃗∣∣OB⃗∣=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \begin{align*} \cos(\beta -\alpha ) =& \frac { \vec { OA }\cdot \vec { OB } }{ \left| \vec { OA } \right| \left| \vec { OB } \right| } \\ =& \cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \end{align*}

■

ベクトルの内積を紙に書くと実は一行になるのと同じ。アイディアもシンプルで最も簡単な方法だ。

三角形を使った証明

3.png

(1) 三角形の面積を SS とすると

S=12absin⁡(α+β) S=\frac { 1 }{ 2 }ab\sin(\alpha +\beta )

(2) 垂直を境にした二つの三角形の面積を足すと

S=12bhsin⁡α+12ahsin⁡β S=\frac { 1 }{ 2 }bh\sin\alpha +\frac { 1 }{ 2 }ah\sin\beta

このとき h=bcos⁡α=acos⁡βh=b\cos\alpha =a\cos\beta なので

S=12abcos⁡βsin⁡α+12abcos⁡αsin⁡β S=\frac { 1 }{ 2 }ab\cos\beta \sin\alpha +\frac { 1 }{ 2 }ab\cos\alpha \sin\beta

(1)と (2)で求めたものは共に SS なので、両辺の 12ab\frac { 1 }{ 2 }ab を削除すれば

sin⁡(α+β)=cos⁡βsin⁡α+cos⁡αsin⁡β \sin(\alpha +\beta )=\cos\beta \sin\alpha +\cos\alpha \sin\beta

■

三角形の面積を利用した証明では、アイディアはシンプルだし hh を上手く扱うことがポイント。

回転変換を用いた証明

4.png 点 AA を原点に対して β\beta だけ回転変換すると

[cos⁡(α+β)sin⁡(α+β)]=[cos⁡β−sin⁡βsin⁡βcos⁡β][cos⁡αsin⁡α]  ⟹  {cos⁡(α+β)=cos⁡βcos⁡α−sin⁡βsin⁡αsin⁡(α+β)=sin⁡βcos⁡α+cos⁡βsin⁡α \begin{bmatrix} \cos(\alpha +\beta ) \\ \sin(\alpha +\beta ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} { \cos\beta }&{ -\sin\beta } \\ { \sin\beta }&{ \cos\beta } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} { \cos\alpha } \\ { \sin\alpha } \end{bmatrix} \\ \implies \begin{cases} \cos(\alpha +\beta )=\cos\beta \cos\alpha -\sin\beta \sin\alpha \\ { \sin(\alpha +\beta )=\sin\beta \cos\alpha +\cos\beta \sin\alpha } \end{cases}

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回転変換を用いた証明。角度を少し変える必要があるけど、コサインとサインについて同時に得られるのでいい。

結論

これらの場合は思った以上によく使われるので、覚えておくと便利。

  • sin⁡(π4+π6)=cos⁡(π4−π6)=3+122sin⁡(π4−π6)=cos⁡(π4+π6)=3−122 \begin{align*} \sin(\frac { \pi }{ 4 }+\frac { \pi }{ 6 })=\cos(\frac { \pi }{ 4 }-\frac { \pi }{ 6 })=\frac { \sqrt { 3 }+1 }{ 2\sqrt { 2 } } \\ \sin(\frac { \pi }{ 4 }-\frac { \pi }{ 6 })=\cos(\frac { \pi }{ 4 }+\frac { \pi }{ 6 })=\frac { \sqrt { 3 }-1 }{ 2\sqrt { 2 } } \end{align*}
  • タンジェントの加法定理： tan⁡(θ1±θ2)=tan⁡θ1±tan⁡θ21∓tan⁡θ1tan⁡θ2 \tan ( \theta_1 \pm \theta_2) = \dfrac{\tan\theta_1 \pm \tan\theta_2}{1 \mp \tan\theta_1\tan\theta_2}

タンジェントの加法定理の証明

tan⁡(θ1±θ2)=sin⁡(θ1±θ2)cos⁡(θ1±θ2)=sin⁡θ1cos⁡θ2±sin⁡θ2cos⁡θ2cos⁡θ1cos⁡θ2∓sin⁡θ1sin⁡θ2 \tan (\theta_1 \pm \theta2)=\dfrac{\sin ( \theta_1 \pm \theta_2)}{\cos ( \theta_1 \pm \theta_2)} =\dfrac{ \sin \theta_1 \cos \theta_2 \pm \sin \theta_2 \cos \theta_2}{\cos \theta_1 \cos\theta_2 \mp \sin\theta_1 \sin\theta_2} 分子と分母を cos⁡θ1cos⁡θ2\cos\theta_1\cos\theta_2 で割ると sin⁡θ1cos⁡θ1±sin⁡θ2cos⁡θ11∓sin⁡θ1sin⁡θ2cos⁡θ1cos⁡θ2=tan⁡θ1±tan⁡θ21∓tan⁡θ1tan⁡θ2 \dfrac{ \dfrac{\sin \theta_1}{ \cos \theta_1} \pm \dfrac{\sin \theta_2}{ \cos \theta_1} } { 1 \mp \dfrac{\sin\theta_1 \sin\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2 }} = \dfrac{ \tan\theta_1 \pm \tan\theta_2}{1 \mp \tan\theta_1\tan\theta_2}

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