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位相数学における基底の同値条件 📂位相幾何学

位相数学における基底の同値条件

定義

集合 XX で、B\mathscr{B} は位相 T\mathscr{T} の基底であり、B′\mathscr{B} ' は位相 T′\mathscr{T} ' の基底であるとするとき、T=T′\mathscr{T} = \mathscr{T} ' であれば、B\mathscr{B} と B′\mathscr{B} ' は互いに同値という。

定理

基底の同値は、以下の二つの条件を満たすことが必要十分条件である。

  • (i): すべての B∈BB \in \mathscr{B} と x∈Bx \in B に対して、x∈B′⊂Bx \in B ' \subset B を満たす B′∈B′B ' \in \mathscr{B} ' が存在する。
  • (ii): すべての B′∈B′B ' \in \mathscr{B} ' と x′∈b′x' \in b ' に対して、x′∈B⊂b′x' \in B \subset b ' を満たす B∈BB \in \mathscr{B} が存在する。

説明

基底の同値は、与えられた位相の基底は一意でないかもしれないが、本質的に交換可能であるという表現のために作成された。基底を「位相を作るための材料」と見たとき、結果的に作る位相が同じなら、それらを区別する意味がないため、T=T′\mathscr{T} = \mathscr{T} ' という条件は「基底の同値」を話すには合理的な条件だと言える。

証明

B\mathscr{B} と B′\mathscr{B} ' をそれぞれ T\mathscr{T} と T′\mathscr{T} ' の基底とする。

(  ⟹  )( \implies )

B\mathscr{B} と B′\mathscr{B} ' が互いに同値であるから T=T′\mathscr{T} = \mathscr{T} ' が成り立ち、B∈BB \in \mathscr{B} と x∈Bx \in B を考えることができる。

B∈B⊂T=T’ B \in \mathscr{B} \subset \mathscr{T} = \mathscr{T}’ で、B′\mathscr{B} ' はT′\mathscr{T} ' の基底であるから、BB は B′\mathscr{B} ' の要素の合併である。x∈Bx \in B だから、x∈B’⊂Bx \in B ’ \subset B を満たす B′∈B′B ' \in \mathscr{B} ' が存在し、条件 (i)を満たし、全く同じ方法で、(ii)も満たされることを示せる。

(  ⟸  )( \impliedby )

(i), (ii)が成立するとして、T⊂T′\mathscr{T} \subset \mathscr{T} ' を示すために、U∈TU \in \mathscr{T} であり、x∈Ux \in U とする。

B\mathscr{B} は T\mathscr{T} の基底であるから、x∈Bx⊂Ux \in B_{x} \subset U を満たす Bx∈BB_{x} \in \mathscr{B} が存在する。(i)に従って、すべての xx に対して、x∈Bx′⊂Bxx \in B_{x} ' \subset B_{x} を満たす Bx′∈B′B_{x} ' \in \mathscr{B} ' が存在するので、 U=⋃x∈UBx’ U = \bigcup_{x \in U} B_{x}’ が成立し、T⊂T′\mathscr{T} \subset \mathscr{T} ' を示した。全く同じ方法で T′⊂T\mathscr{T} ' \subset \mathscr{T} を示せ、T=T′\mathscr{T} = \mathscr{T} ' を得る。

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