📂複素解析

拡張複素平面において、円は双線形変換に対して不変である。

定理 ¹

全ての双一次変換は、$\overline { \mathbb{C} }$で記述された円を別の$\overline { \mathbb{C} }$で記述された円に対応させる。

証明

一般的な円の方程式を $$a ( x^2 + y^2 ) + 2p x + 2q y + c = 0$$ と表してみよう。そして、$B := p - iq$と置くと、複素平面上の$z = x + i y$について $$az \overline{z} + Bz + \overline{Bz } + c = 0$$ を得ることができる。今、$az \overline{z} + Bz + \overline{Bz } + c = 0$に対して線形変換$\displaystyle w = {{z - \beta} \over {\alpha}}$と反転$\displaystyle w = {{1} \over {z}}$を適用しても同じ形が維持されることを示せば、証明は完了だ。

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ケース 1. 線形変換

$z = \alpha w + \beta$であるため、 $$a \alpha \overline{\alpha} w \overline{w} + (a \alpha \overline{\beta} + \alpha B ) w + (a \overline{\alpha} \beta + \overline{\alpha B} ) \overline{w} + ( a \beta \overline{ \beta } + ( \beta B + \overline{\beta B} ) + c ) = 0$$

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ケース 2. 反転

$\displaystyle z = {{1} \over {w}}$であるため、 $$a + B \overline{w} + \overline{B} w + c w \overline{w} = 0$$ 共役複素数の性質を考えると、新しい方程式は全て$az \overline{z} + Bz + \overline{Bz } + c = 0$と同じ形であることが分かる。

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説明

拡張複素平面とは、単純に複素平面$\mathbb{C}$に無限大$\infty$を加えて拡張した概念である。粗く表現すれば、数式で示すなら$\overline { \mathbb{C} } = \mathbb{C} \cup \left\{ \infty \right\}$で、$\infty$を’平面の端’のように考えても問題ない。この意味で、$\infty$は原点から無限に遠い場所に存在し、方向に関係なくどこにでも存在し、当然陰陽を問わない。

円は一直線上にない三点によって決定されるので、上記の定理と組み合わせてみれば、円全体ではなく三点だけを気にすればよい。一方、拡張複素平面上で、線は両端に$\infty$を持ってその二つがつながっていると考えたらどうだろう。線は異なる二点によって決定されるので、そこに$\infty$を加えて三点で円を決定すると言えるだろう。空間を曲げることができれば、これらは複素平面を丸めた円筒の表面で正確に’円’の形をしている。

この説明を受け入れることができれば、以下の系も自然に理解できるだろう。等角写像の議論において、この事実は非常に重要なので、納得できなくても、事実として知っておくべきだ。

系

全ての双一次変換は、$\overline { \mathbb{C} }$で記述された直線を別の$\overline { \mathbb{C} }$で記述された直線に対応させる。