📂微分積分学

テイラーの定理の証明

定理¹

関数 $f(x)$ が $[a,b]$ で連続であり、$(a,b)$ で $n$ 回微分可能であれば、

$$ \begin{align*} f(b) =& \sum_{k=0}^{n-1} {{(b-a)^{k}\over{k!}}{f^{(k)}( a )}} + {(b-a)^{n}\over{n!}}{f^{(n)}(\xi)} \\ =& {f(a)} + {(b-a)f ' (a)} + \cdots + {(b-a)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(a)} + {(b-a)^{n}\over{(n)!}}{f^{(n)}(\xi)} \end{align*} $$

を満たす $\xi \in (a,b)$ が存在する。

説明

数学全般で非常に重要な定理で、この定理にちなんでテイラー級数がある。$n$回微分するという意味においては、平均値の定理を一般化したものと言える。

通常、テイラーの定理を使用する時は、$c$ではなく、$\xi$を使用する。

証明

$$ \begin{align*} f(b) :=& {(b-a)^0\over{0!}}{f(a)} + {(b-a)^1\over{1!}}{f ' (a)} + {(b-a)^2\over{2!}}{f '' (a)} \\ &+ \cdots + {(b-a)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(a)} + {(b-a)^{n}\over{(n)!}}c \end{align*} $$

としよう。$c={f^{(n)}(\xi)}$ を示せば証明は終わる。関数 $g$ を次のように定義する。

$$ \begin{align*} g(x):=& -f(b) + f(x) + {(b-x)^1\over{1!}}{f ' (x)} + {(b-x)^2\over{2!}}{f '' (x)} \\ & + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} + {(b-x)^{n}\over{(n)!}}c \\ =& -f(b) + \sum_{k=0}^{n-1}{(b-x)^{k}\over{(k)!}}{f^{(k)}(x)} + {(b-x)^{n}\over{(n)!}}c \end{align*} $$

$g$ は $[a,b]$ で連続で、$(a,b)$ で微分可能であり、$c$ の定義により $g(b)=g(a)=0$である。

ロルの定理: 関数 $f(x)$が $[a,b]$で連続で、$(a,b)$で微分可能で、$f(a)=f(b)$ ならば、$(a,b)$ で少なくとも一つの $\xi$ が $f ' (\xi)=0$ を満たす。

$h(x)$ を $$ \begin{align*} h(x):=& \left[ \sum_{k=0}^{n-1}{(b-x)^{k}\over{(k)!}}{f^{(k)}(x)} \right] ' \\ =& \left[ {(b-x)^{0}\over{(0)!}}{f^{(0)}(x)} + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(1)}(x)} + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] ' \\ =& \left[ f (x) + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(1)}(x)} + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] ' \\ =& f^{(1)} (x) - \left[ f^{(1)} (x) + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(2)}(x)} \right] \\ & + \left[ - {(b-x)^{1}\over{(1)!}} f^{(2)} (x) + {(b-x)^{2}\over{(2)!}}{f^{(3)}(x)} \right] \\ & \vdots \\ & + \left[ - {(b-x)^{n-3}\over{(n-3)!}} f^{(n-2)} (x) + {(b-x)^{n-2}\over{(n-2)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] \\ & + \left[ - {(b-x)^{n-2}\over{(n-2)!}} f^{(n-1)} (x) + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(x)} \right] \\ =& {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(x)} \end{align*} $$

とし、$\displaystyle g ' (x) = 0 + h(x) - {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}c$ であるため、ロルの定理により、

$$ \begin{align*} g ' (\xi) =& h(\xi) - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ =& {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ =& 0 \end{align*} $$

を満たす $\xi$ が $(a,b)$ に少なくとも一つ存在する。したがって、

$$ \begin{align*} && {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c =& 0 \\ \implies && {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} =& {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ \implies && {f^{(n)}(\xi)} =& c \end{align*} $$

$c={f^{(n)}(\xi)}$ を示したので、証明が終了した。

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上記のように証明したが、より一般的に使用される形は以下の通りである。もちろん$x \in [a,b]$で、$x_{0} \in (a,b)$として、実質的に$[x_{0} , x] \subset [a,b]$となる。

テイラーの定理

関数 $f(x)$ が $[a,b]$ で連続であり、$(a,b)$ で $n$ 回微分可能であれば、$x_{0} \in (a,b)$に対して、

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} {{( x - x_{0} )^{k}\over{ k! }}{f^{(k)}( x_{0} )}} + {(x - x_{0} )^{n}\over{ n! }}{f^{(n)}(\xi)} $$

を満たす $\xi \in (a,b)$ が存在する。

参照

• 多変数関数のテイラーの定理