logo

テイラーの定理の証明 📂微分積分学

テイラーの定理の証明

定理1

関数 f(x)f(x) が [a,b][a,b] で連続であり、(a,b)(a,b) で nn 回微分可能であれば、

f(b)=∑k=0n−1(b−a)kk!f(k)(a)+(b−a)nn!f(n)(ξ)=f(a)+(b−a)f′(a)+⋯+(b−a)n−1(n−1)!f(n−1)(a)+(b−a)n(n)!f(n)(ξ) \begin{align*} f(b) =& \sum_{k=0}^{n-1} {{(b-a)^{k}\over{k!}}{f^{(k)}( a )}} + {(b-a)^{n}\over{n!}}{f^{(n)}(\xi)} \\ =& {f(a)} + {(b-a)f ' (a)} + \cdots + {(b-a)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(a)} + {(b-a)^{n}\over{(n)!}}{f^{(n)}(\xi)} \end{align*}

を満たす ξ∈(a,b)\xi \in (a,b) が存在する。

説明

数学全般で非常に重要な定理で、この定理にちなんでテイラー級数がある。nn回微分するという意味においては、平均値の定理を一般化したものと言える。

通常、テイラーの定理を使用する時は、ccではなく、ξ\xiを使用する。

証明

f(b):=(b−a)00!f(a)+(b−a)11!f′(a)+(b−a)22!f′′(a)+⋯+(b−a)n−1(n−1)!f(n−1)(a)+(b−a)n(n)!c \begin{align*} f(b) :=& {(b-a)^0\over{0!}}{f(a)} + {(b-a)^1\over{1!}}{f ' (a)} + {(b-a)^2\over{2!}}{f '' (a)} \\ &+ \cdots + {(b-a)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(a)} + {(b-a)^{n}\over{(n)!}}c \end{align*}

としよう。c=f(n)(ξ)c={f^{(n)}(\xi)} を示せば証明は終わる。関数 gg を次のように定義する。

g(x):=−f(b)+f(x)+(b−x)11!f′(x)+(b−x)22!f′′(x)+⋯+(b−x)n−1(n−1)!f(n−1)(x)+(b−x)n(n)!c=−f(b)+∑k=0n−1(b−x)k(k)!f(k)(x)+(b−x)n(n)!c \begin{align*} g(x):=& -f(b) + f(x) + {(b-x)^1\over{1!}}{f ' (x)} + {(b-x)^2\over{2!}}{f '' (x)} \\ & + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} + {(b-x)^{n}\over{(n)!}}c \\ =& -f(b) + \sum_{k=0}^{n-1}{(b-x)^{k}\over{(k)!}}{f^{(k)}(x)} + {(b-x)^{n}\over{(n)!}}c \end{align*}

gg は [a,b][a,b] で連続で、(a,b)(a,b) で微分可能であり、cc の定義により g(b)=g(a)=0g(b)=g(a)=0である。

ロルの定理: 関数 f(x)f(x)が [a,b][a,b]で連続で、(a,b)(a,b)で微分可能で、f(a)=f(b)f(a)=f(b) ならば、(a,b)(a,b) で少なくとも一つの ξ\xi が f′(ξ)=0f ' (\xi)=0 を満たす。

h(x)h(x) を h(x):=[∑k=0n−1(b−x)k(k)!f(k)(x)]′=[(b−x)0(0)!f(0)(x)+(b−x)1(1)!f(1)(x)+⋯+(b−x)n−1(n−1)!f(n−1)(x)]′=[f(x)+(b−x)1(1)!f(1)(x)+⋯+(b−x)n−1(n−1)!f(n−1)(x)]′=f(1)(x)−[f(1)(x)+(b−x)1(1)!f(2)(x)]+[−(b−x)1(1)!f(2)(x)+(b−x)2(2)!f(3)(x)]⋮+[−(b−x)n−3(n−3)!f(n−2)(x)+(b−x)n−2(n−2)!f(n−1)(x)]+[−(b−x)n−2(n−2)!f(n−1)(x)+(b−x)n−1(n−1)!f(n)(x)]=(b−x)n−1(n−1)!f(n)(x) \begin{align*} h(x):=& \left[ \sum_{k=0}^{n-1}{(b-x)^{k}\over{(k)!}}{f^{(k)}(x)} \right] ' \\ =& \left[ {(b-x)^{0}\over{(0)!}}{f^{(0)}(x)} + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(1)}(x)} + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] ' \\ =& \left[ f (x) + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(1)}(x)} + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] ' \\ =& f^{(1)} (x) - \left[ f^{(1)} (x) + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(2)}(x)} \right] \\ & + \left[ - {(b-x)^{1}\over{(1)!}} f^{(2)} (x) + {(b-x)^{2}\over{(2)!}}{f^{(3)}(x)} \right] \\ & \vdots \\ & + \left[ - {(b-x)^{n-3}\over{(n-3)!}} f^{(n-2)} (x) + {(b-x)^{n-2}\over{(n-2)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] \\ & + \left[ - {(b-x)^{n-2}\over{(n-2)!}} f^{(n-1)} (x) + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(x)} \right] \\ =& {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(x)} \end{align*}

とし、g′(x)=0+h(x)−(b−x)n−1(n−1)!c\displaystyle g ' (x) = 0 + h(x) - {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}c であるため、ロルの定理により、

g′(ξ)=h(ξ)−(b−ξ)n−1(n−1)!c=(b−ξ)n−1(n−1)!f(n)(ξ)−(b−ξ)n−1(n−1)!c=0 \begin{align*} g ' (\xi) =& h(\xi) - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ =& {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ =& 0 \end{align*}

を満たす ξ\xi が (a,b)(a,b) に少なくとも一つ存在する。したがって、

(b−ξ)n−1(n−1)!f(n)(ξ)−(b−ξ)n−1(n−1)!c=0  ⟹  (b−ξ)n−1(n−1)!f(n)(ξ)=(b−ξ)n−1(n−1)!c  ⟹  f(n)(ξ)=c \begin{align*} && {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c =& 0 \\ \implies && {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} =& {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ \implies && {f^{(n)}(\xi)} =& c \end{align*}

c=f(n)(ξ)c={f^{(n)}(\xi)} を示したので、証明が終了した。

■

上記のように証明したが、より一般的に使用される形は以下の通りである。もちろんx∈[a,b]x \in [a,b]で、x0∈(a,b)x_{0} \in (a,b)として、実質的に[x0,x]⊂[a,b][x_{0} , x] \subset [a,b]となる。

テイラーの定理

関数 f(x)f(x) が [a,b][a,b] で連続であり、(a,b)(a,b) で nn 回微分可能であれば、x0∈(a,b)x_{0} \in (a,b)に対して、

f(x)=∑k=0n−1(x−x0)kk!f(k)(x0)+(x−x0)nn!f(n)(ξ) f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} {{( x - x_{0} )^{k}\over{ k! }}{f^{(k)}( x_{0} )}} + {(x - x_{0} )^{n}\over{ n! }}{f^{(n)}(\xi)}

を満たす ξ∈(a,b)\xi \in (a,b) が存在する。

参照

  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p110-111 ↩︎