ルーズ位相とレジャー山位相 📂位相幾何学

ルーズ位相とレジャー山位相

定義

$X$ が無限集合だとしよう。

$\mathscr{T}_{f} : = \left\{ \emptyset , X \right\} \cup \left\{ U \subset X : | X \setminus U | < \infty \right\}$ を余有限位相という。
$\mathscr{T}_{c} : = \left\{ \emptyset , X \right\} \cup \left\{ U \subset X : | X \setminus U | = \aleph_{0} \right\}$ を余可算位相という。

言葉や表現は難しいが、要するに余集合が有限な位相、余集合が可算な位相ということだ。

余有限位相は$X$ が無限集合でなければ、意味をなさないし、余可算位相は$X$ が非可算集合でなければ、考える意味がない。そのような場合、どんな点を除いたとしても $X \setminus U$ はそれぞれ有限、可算になり、結局離散空間になってしまうからだ。

独特であり、ねじれた考え方をしなければならないほど、これらの性質に慣れるのは簡単ではない。そして、これらは本当に重要な性質を持っているというよりは、ある命題の反例を見つけるために学ぶ感じが強い。

次の性質を直接証明してみて、余有限と余可算に慣れてみよう。

余有限空間 $X$ の部分空間 $A$ と余可算空間 $Y$ の部分空間 $B$ について、以下が成立する。