📂位相幾何学

自明位相と離散位相

定義 ¹

ある集合$X$が与えられているとき、自明位相^{trivial topology} $\left\{ \emptyset , X \right\}$を与えると、その空間は最も小さい空間であり、自明空間という。逆に離散位相^{discrete topology} $\mathscr{P}(X)$を与えると、その空間は最も大きい空間であり、離散空間という。

シェルピンスキー空間

$S : = \left\{ 0, 1 \right\}$の位相が$\mathscr{T} : = \left\{ \emptyset , \left\{ 1 \right\} , \left\{ 0, 1 \right\} \right\}$であれば、$S$をシェルピンスキー空間^{sierpinski space}という。

シェルピンスキー空間とは、元がちょうど二つある集合に対して、その位相が自明位相でもなく離散空間でもない空間である。選択される元が$0$か$1$かだけが変わるだけで、本質的には同じであるため区別する意味がない。上のような位相で特定する場合、$\left\{ 1 \right\}$は開いており、$\left\{ 0 \right\}$は閉じている。

シェルピンスキー空間の導集合

$$ \emptyset ' = \emptyset \\ \left\{ 1 \right\} ' = \left\{ 0 \right\} \\ \left\{ 0 \right\} ' = \emptyset \\ \left\{ 1,0 \right\} ' = \left\{ 0 \right\} $$

$0$と$1$を合わせたような$\emptyset$の見た目のせいか、数学的な美しさが極大化される例である。位相数学に初めて触れるなら、練習として上の結果が事実かどうかを直接証明してみてほしい。特別なテクニックなしに、定義に従って計算し並べてみるだけで簡単に確認できる。