📂位相幾何学

位相空間における集積点と収束、値域

定義 ¹

位相空間 $\left( X , \mathscr{T} \right)$ が与えられているとする。

1. $A \subset X$ に対して、$x$ を含む任意の開集合 $O$ が $O \cap ( A \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset$ を満たすとき、$x$ を $A$ の集積点、$A$ の全ての集積点の集合 $a '$ を $A$ の導出集合という。
2. $X$ の数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ が $x$ に収束するとは、$x$ を含む任意の開集合 $O$ に対して、次を満たす $n_{0} \in \mathbb{N}$ が存在することを意味する。 $$n \ge n_{0} \implies x_{n} \in O$$

説明

収束しないからといって、特に発散することを別に定義していないことに注意。

位相空間になっても、集積点を定義することができ、言葉だけではほとんど違いがないようにみえる。距離空間の定義から変わっていないが、概念的には、距離空間では「全ての開集合」とは言ったが、実際にはその区間を「狭めていく」感じだったのに対して、位相空間では文字通りあらゆる種類の開集合を想定しなければならない。

$A$ が $X$ で閉集合であることは、$A ' \subset A$ と同値で、閉集合と集積点の定義から容易に証明できる。もっとスッキリと、$\overline{A} = A \cup a '$ のため、$A = \overline{A}$ で示すこともできる。特に距離空間では、次のような定理で表される。

定理

距離空間 $(X,d)$ で、$K \subset X$ とする。

• [1]: $K$ の集積点 $x \in X$ に収束する$K$ の異なる点の数列が存在する。
• [2]: $K$ が$X$ で閉集合ならば、$K$ の全ての収束する数列は$K$ の点に収束する。