グラム-シュミット直交化
概要
すべての有限次元内積空間は、正規直交基底を持っている。
説明
存在証明がいつもそうであるように、長くもなく、大したこともないように見えるが、非常に重要な定理だ。これは、多くの線形代数学を支える論理が正にこの正規直交基底の存在に依存しているからである。
証明
内積空間$(V, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle)$を生成する基底の一つを$\left\{ \mathbf{x}_{1} , \cdots , \mathbf{x}_{n} \right\}$としよう。新しいベクター、
$$ \mathbf{v}_{1} := {{ \mathbf{x}_{1} } \over {||\mathbf{x}_{1}||}} $$
および
$$ {\color{blue} \mathbf{v}_{2}} := {{ {\color{red} \mathbf{x}_{2} - ( \mathbf{x}_{2} \cdot \mathbf{v}_{1} ) \mathbf{v}_{1} } } \over { || \mathbf{x}_{2} - ( \mathbf{x}_{2} \cdot \mathbf{v}_{1} ) \mathbf{v}_{1} || }} = {{ \mathbf{x}_{2} - \text{Proj} ( \mathbf{x}_{1} ) } \over { || \mathbf{x}_{2} - \text{Proj} ( \mathbf{x}_{1} ) || }} $$
を定義しよう。
図に示されているように、$\mathbf{v}_{1} \perp \mathbf{v}_{2}$が成立する。上記のプロセスに従って、
$$ \mathbf{v}_{k} := {{ \mathbf{x}_{k} - \text{Proj} ( \mathbf{x}_{k-1} ) } \over { || \mathbf{x}_{k} - \text{Proj} ( \mathbf{x}_{k-1} ) || }} $$ は繰り返すことができ、結果として、直交基底$\left\{ \mathbf{v}_{1} , \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\}$を見つけることができる。定義により、$\mathbf{v}_{1} , \cdots , \mathbf{v}_{n}$ はすべてその大きさが$1$であるため、$\left\{ \mathbf{v}_{1} , \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\}$は正規直交ベクトルである。
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実際、正規化はただ大きさを1にするためにノルムで割るだけであり、重要な点は 射影 を利用して直交ベクターを見つけることである。