特殊線型リー代数
定義
トレースが$0$である行列の集合を$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$とする。
$$ \mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) = \left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) : \operatorname{tr}(X) = 0 \right\} $$
説明
行列積に対してブラケットを$[X, Y] = XY - XY$と定義すると、$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$はリー代数をなす。
定義だけを見ると特殊線型群$\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$と関連があるようには見えないが、実際には$\operatorname{SL}$のリー代数となる。
性質
次元
$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$は$X$のトレースが$0$であるという一つの線型制約条件$x_{11} + x_{22} + \cdots + x_{nn} = 0$が追加されたものであるため、一般線型リー代数$\mathfrak{gl}(n, \mathbb{C}) = M_{n}(\mathbb{C})$より次元が一つ小さい。
$$ \dim \mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) = n^{2} - 1 $$