距離空間における内部閉包境界
定義
距離空間 について、 とする。
説明
定義する必要はないかもしれないが、インテリアと対照的な の外側の集合をエクステリアと呼ぶ。
開集合とこれらの概念は異なり定義されることもあるが、本質的には同じである。
定義は慎重に読めば誰でも理解できるものであり、図を通じて早く理解しよう。
与えられた集合が上のような時、これらの概念を考えてみよう。
インテリアは が含む の部分集合の中で最も大きな開集合である。
クロージャーは を含む の部分集合の中で最も小さな閉集合である。
バウンダリーはクロージャーからインテリアを引いた の部分集合と見ることができる。
インテリアとクロージャーの区別はさほど難しくないが、バウンダリーは一見すると点線か実線かによって混乱するかもしれない。境界であれば、迷わずバウンダリーと考えればいい。
このような定義を通じて、以下の性質は事実上、開集合と閉集合の定義と見ることができる。
性質: 開集合と閉集合
が距離空間 の部分集合とする。
が開集合であることと は等価である。
が閉集合であることと は等価である。
もちろん、これらの性質は証明可能だが、ただの事実として受け入れても問題ない。