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距離空間における内部閉包境界 📂距離空間

距離空間における内部閉包境界

定義

距離空間 (X,d)\left( X, d \right) について、AXA \subset X とする。

  • xOAx \in O \subset A を満たす開集合 OO が存在する時、xxAA内点という。

  • AA の内点の集合 AA^{\circ}AA内部という。

  • AA とその値域の和集合 A:=Aa\overline{A} : = A \cup a 'AA閉包という。

  • xAx \in \overline{A} であり、かつ xXAx \in \overline{X \setminus A} の時、xxAA境界点という。

  • A:=AXA\partial A : = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A}AA境界という。

説明

定義する必要はないかもしれないが、インテリアと対照的な A\overline{A} の外側の集合をエクステリアと呼ぶ。

開集合とこれらの概念は異なり定義されることもあるが、本質的には同じである。

定義は慎重に読めば誰でも理解できるものであり、図を通じて早く理解しよう。

A A

20180115\_195929.png

与えられた集合が上のような時、これらの概念を考えてみよう。

A A^{\circ}

20180115\_201518.png

インテリアAA が含む XX の部分集合の中で最も大きな開集合である。

A \overline{A}

20180115\_195823.png

クロージャーAA を含む XX の部分集合の中で最も小さな閉集合である。

A \partial A

20180115\_200050.png

バウンダリーはクロージャーからインテリアを引いた XX の部分集合と見ることができる。

インテリアとクロージャーの区別はさほど難しくないが、バウンダリーは一見すると点線か実線かによって混乱するかもしれない。境界であれば、迷わずバウンダリーと考えればいい。

このような定義を通じて、以下の性質は事実上、開集合と閉集合の定義と見ることができる。

性質: 開集合と閉集合

AA が距離空間 XX の部分集合とする。

  • AA が開集合であることと A=AA = A^{\circ} は等価である。

  • AA が閉集合であることと A=AA = \overline{A} は等価である。


もちろん、これらの性質は証明可能だが、ただの事実として受け入れても問題ない。