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単連結リー群 📂表現論

単連結リー群

定義

行列リー群 $G$が単連結simply connectedであるということは、$G$が連結であり、$G$上のすべての閉曲線が$G$上の一点に連続的に収縮できることを意味する。

説明

閉曲線が $G$ 上の一点に連続的に収縮するということを数学的に整理すると、次の条件を満たすことと同値である。$A(0) = A(1)$である $G$ 上の経路に対して、連続関数 $A(t, s)$ $(0 \le s, t \le 1)$ が存在して、

  • 閉曲線: $A(0, s) = A(1, s)$ $(s \in [0, 1])$
  • 収縮開始点: $A(t, 0) = A(t)$ $(t \in [0, 1])$
  • 収縮終点: $A(t, 1) = A(0, 1)$ $(t \in [0, 1])$

これを専門的に簡潔に言えば、単連結とはすべての閉曲線がヌルホモトピーであることを意味する。上で述べた $A(t, s)$ をホモトピーという。

種類

以下の行列リー群は単連結である。