保存力 (ほぞんりょく)
定義
力 $\mathbf{F}$が物体を点 $\mathbf{a}$から $\mathbf{b}$へ移動させるとき、その力がした仕事が経路に無関係な値を持つならば、その力を保存力conservative forceという。
$$ \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \text{work} = \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$
説明
経路に無関係であるということは、始点 $\mathbf{a}$と終点 $\mathbf{b}$のみに依存するということと同じである。数学的には保存場と同じ概念であり、単位が力である保存場を特に保存力と呼ぶと理解すればよい。
力 $\mathbf{F}$が保存力であること、カールが $\mathbf{0}$であること、閉経路積分が $0$であること、そしてスカラーポテンシャル $V$が存在することがすべて同値であることを示せる。
$$ \begin{array}{ccc} \mathbf{F} \text{ is conservative} & \iff & \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \\[1em] \Updownarrow & & \Updownarrow \\[1em] \displaystyle \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 & \iff & \text{There exists $V$ such that } \mathbf{F} = -\nabla V \end{array} $$