保存場（非回転場）
定義1 2
ベクトル場 $\mathbf{F}$の積分が経路に依らないならこのベクトル場を 保存場conservative (vector) fieldという。
$$ \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$
説明
以下の定理により保存場は 非回転場curl-free / irrotational fieldとも呼ばれる。ベクトル場 $\mathbf{F}$の単位が力であれば、経路積分は物理的に仕事を意味する。すなわち、物体をある二点間で移動させるときに必要な仕事の量が経路に依らないという意味である。このような力を 🔒(26/04/23)保存力という。
以下の定理は保存場の同値条件について述べる有用な定理で、その内容を要約すると次の通りだ。
$$ \begin{array}{ccc} \mathbf{F} \text{ は保存場である} & \iff & \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \\[1em] \Updownarrow & & \Updownarrow \\[1em] \displaystyle \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 & \iff & \text{$V$が存在して } \mathbf{F} = -\nabla V \end{array} $$
定理
ベクトル場 $\mathbf{F} = (F_{x}, F_{y}, F_{z})$と各成分の導関数 $\partial_{j}F_{i}$が単連結領域で連続であるとき、次のすべてが同値である。
(a) 領域内のすべての点で $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ が成り立つ。
(b) 領域内のすべての単純閉曲線 $C$ に対して $\oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0$ が成り立つ。
(c) $\mathbf{F}$ が保存場である。すなわち領域内の二点 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ に対し積分 $\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ は経路に依らない。
(d) $\mathbf{F} = -\nabla V$ となるスカラー場 $V$が存在する。
証明
(a) $\implies$ (b)
(a) が成り立つと仮定する。するとストークスの定理により次が成り立つ。
$$ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = \int_{S} \mathbf{0} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = 0 $$
ここで $S$ は閉曲線 $C$ が囲む面である。
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(b) $\implies$ (c)
(b) が成り立つと仮定する。するとある閉曲線 $C$ とその内部の二点 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ に対して次が成り立つ。
$$ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} + \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{b}}^{\mathbf{a}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 $$
このとき $\text{path I}$ は閉曲線 $C$ 内での $\mathbf{a}$ から $\mathbf{b}$ への経路であり、 $\text{path II}$ は残りの経路である（どのように選んでも証明には影響しない）。二番目の積分を右辺に移して整理すると以下のようになる。
$$ \underset{\text{path I}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = - \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{b}}^{\mathbf{a}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \underset{\text{path II}}{\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$
上の式は任意の閉曲線 $C$ について成り立つので、$\mathbf{a}$ から $\mathbf{b}$ への積分は経路に依らず常に同じ値を持つ。
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(c) $\implies$ (d)
(c) が成り立つと仮定する。スカラー関数 $V : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ を以下のように定義する。
$$ V(\mathbf{r}) := - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{F}(\mathbf{s}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}, \quad \mathbf{r} = (x,y,z) \tag{1} $$
$V$ の偏微分を求めると次のようになる。
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial V}{\partial x} &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{V(x+h, y, z) - V(x, y, z)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \left( -\int_{\mathbf{r}_{0}}^{(x+h,y,z)} \mathbf{F}(\mathbf{s}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} + \int_{\mathbf{r}_{0}}^{(x,y,z)} \mathbf{F}(\mathbf{s}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} \right) \end{align*} $$
$y$、$z$ 成分については変化がないので、$\mathrm{d}\mathbf{s} = \mathrm{d}x\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 0z\mathbf{k} = \mathrm{d}x\mathbf{i}$ かつ $\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = F_{x} \mathrm{d}x$ である。したがって次を得る。
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial V}{\partial x} &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \left( -\int_{\mathbf{r}_{0}}^{(x+h,y,z)} F_{x} \mathrm{d}x + \int_{\mathbf{r}_{0}}^{(x,y,z)} F_{x} \mathrm{d}x \right) \\ &= - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \left( \int_{(x,y,z)}^{(x+h,y,z)} F_{x} \mathrm{d}x \right) \end{align*} $$
微積分学の基本定理により以下が成り立つ。
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial V}{\partial x} &= -F_{x}(x,y,z) \end{align*} $$
同様に、$y$、$z$ 成分についても次が成り立つ。
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial V}{\partial y} &= -F_{y}(x,y,z) \\ \dfrac{\partial V}{\partial z} &= -F_{z}(x,y,z) \end{align*} $$
したがって $\mathbf{F} = -\nabla V$ を満たすスカラー場 $V$ が $(1)$ のように存在する。
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(d) $\implies$ (a)
勾配の回転は $\mathbf{0}$ なので成り立つ。
$$ \nabla \times \mathbf{F} = \nabla \times (-\nabla V) = \mathbf{0} $$
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