📂確率分布論

円形正規分布

定義¹

正規分布 $N(\mu, \sigma^{2})$に対するラップド分布を $\operatorname{WN}(\mu, \sigma^{2})$ と表記し、ラップド正規分布^{wrapped normal distribution}と呼ぶ。ラップド正規分布の確率密度関数は次の通りだ。

$$ f_{\text{WN}}(\theta; \mu, \sigma) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp\left( -\dfrac{(\theta - \mu + 2\pi k )^{2}}{2\sigma^{2}} \right), \qquad \theta \in [0, 2\pi) $$

説明

直観的にラップド正規分布は円周上で定義される正規分布と見なせる。これと似た概念で定義される分布にフォン・ミーゼス分布がある。ラップド正規分布は $\mathbb{R}$ 上で定義された正規分布を $S^{1}$ にマッピングするもので、フォン・ミーゼス分布はそもそも $S^{1}$ 上で定義されるという違いがある。

性質

(a) $f_{\text{WN}}$ は次の形でも表される。 $$ f_{\text{WN}}(\theta; \mu, \sigma) = \dfrac{1}{2\pi} \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\sigma^{2}n^{2}/2 + \mathrm{i}(\theta - \mu) } $$