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ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理 📂解析学

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

定理

無限集合 ERE \subset \mathbb{R}有界ならば、EE集積点 pRp \in \mathbb{R} が存在する。

説明

または、「有界数列は収束する部分数列を持つ」と言ってもいい。条件でEEが必ずしも閉じている必要はないことに注意しよう。

証明

Part 1. n=1In={x}\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \left\{ x \right\}

仮定でEE が有界なので、EI1E \subset I_{1} を満たす閉区間 I1:=[a,b]I_{1} := [a,b] が存在する。ここで、I2I_{2} を長さが I1I_{1} の半分で、EEの点を無限に含む区間として取ろう。このような過程を繰り返すことで、内包区間 In+1InI_{n+1} \subset I_{n} を作ることができ、InI_{n} の長さは dn:=ba2n\displaystyle d_{n} : = {{b-a} \over {2^{n}}} になる。

カントールの縮小区間定理: 内包された区間 [an,bn][a_{n}, b_{n}] に対して limn(bnan)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0 ならば n=1[an,bn]\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] は単一要素集合である。

limndn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_{n} = 0 なので、縮小区間定理によって n=1In={x}\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \left\{ x \right\} [NOTE : xEx \in E が必ずしも必要ではない]


Part 2. xxEE集積点

xx を含む開集合 OO を考えると、実数の密度によって、(xε,x+ε)O(x - \varepsilon , x + \varepsilon ) \subset O となる ε>0\varepsilon>0 が存在する。先に見たようにlimndn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_{n} = 0 なので、dn0=ba2n0<ε\displaystyle d_{n_{0}} = {{b-a} \over {2^{n_{0}}}} < \varepsilon を満たす自然数 n0n_{0} も存在するはずだから

xIn0(xε,x+ε)O x \in I_{n_{0}} \subset (x - \varepsilon , x + \varepsilon ) \subset O

集積点: 実数上の点 xRx \in \mathbb{R} と部分集合 ARA \subset \mathbb{R} に対し、xxを含む任意の開集合 OO に対して O(A{x}) O \cap ( A \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset ならば、xx集積点と定義する。

OOがどうであれ、xxを含む開集合である限り、(O{x})E\left( O \setminus \left\{ x \right\} \right) \cap E \ne \emptysetしかない。したがって、xxEE集積点となる。

参照