ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
📂解析学ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
定理
無限集合 E⊂R が 有界ならば、E の 集積点 p∈R が存在する。
説明
または、「有界数列は収束する部分数列を持つ」と言ってもいい。条件でEが必ずしも閉じている必要はないことに注意しよう。
証明
Part 1. n=1⋂∞In={x}
仮定でE が有界なので、E⊂I1 を満たす閉区間 I1:=[a,b] が存在する。ここで、I2 を長さが I1 の半分で、Eの点を無限に含む区間として取ろう。このような過程を繰り返すことで、内包区間 In+1⊂In を作ることができ、In の長さは dn:=2nb−a になる。
カントールの縮小区間定理: 内包された区間 [an,bn] に対して n→∞lim(bn−an)=0 ならば n=1⋂∞[an,bn] は単一要素集合である。
n→∞limdn=0 なので、縮小区間定理によって n=1⋂∞In={x} [NOTE : x∈E が必ずしも必要ではない]
Part 2. x はEの集積点
x を含む開集合 O を考えると、実数の密度によって、(x−ε,x+ε)⊂O となる ε>0 が存在する。先に見たようにn→∞limdn=0 なので、dn0=2n0b−a<ε を満たす自然数 n0 も存在するはずだから
x∈In0⊂(x−ε,x+ε)⊂O
集積点: 実数上の点 x∈R と部分集合 A⊂R に対し、xを含む任意の開集合 O に対して O∩(A∖{x})=∅ ならば、x を集積点と定義する。
Oがどうであれ、xを含む開集合である限り、(O∖{x})∩E=∅しかない。したがって、x はEの集積点となる。
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参照