スカラー場
定義
物理学でスカラー場scalar fieldとは、空間の各ベクトル（点）にスカラー値を対応させるもので、つまり次のような関数を指す。
$$ f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} $$
説明
フィールドという名前が付いた関数は、その定義域の要素がベクトルであることを意味する。したがってスカラー場とは、ベクトルをスカラーに対応させる関数である。
| 関数 | 対応関係 | 例 |
|---|---|---|
| スカラー場 | ベクトル $\mapsto$ スカラー | 点 $(x, y, z)$での温度 $T = T(x,y,z)$ |
| ベクトル場 | ベクトル $\mapsto$ ベクトル | 点 $(x, y, z)$での物体の速度 $\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z) = \begin{bmatrix} v_{x}(x,y,z) \\ v_{y}(x,y,z) \\ v_{z}(x,y,z) \end{bmatrix}$ |
| テンソル場 | ベクトル $\mapsto$ テンソル | 点 $(x, y, z)$で物体が受ける応力 $\sigma = \sigma(x, y, z) = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$ |
例として以下のものがある。