📂行列代数

リー・トロッター積公式

定理¹

行列 $X, Y \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$について次が成り立つ。

$$ e^{X + Y} = \lim\limits_{m \to \infty} \left( e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}} \right)^{m} $$

このとき $e^{X}$は行列指数である。

証明

行列指数

$$ e^{X} = \sum\limits_{m=0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} $$

行列指数の定義により $e^{\frac{X}{m}}$ と $e^{\frac{Y}{m}}$ の積は次のように整理できる。

$$ e^{{\frac{X}{m}}} e^{{\frac{Y}{m}}} = I + \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) $$

ここで $O$ は ビッグオー記法である。したがって $e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}} \to I$ $\text{as}$ $m \to \infty$ であり、十分に大きい $m$ と十分に小さい $\epsilon$ に対して $\| e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}} - I \| \lt \epsilon$ が成り立つ。

行列対数の性質

$$ e^{\log A} = A, \quad \text{for } \| A - I\| \lt 1 $$

$$ \log(I + B) = B + O(\| B^{2} \|), \quad \text{for } \| B \| \lt 1/2 $$

行列対数の性質により次を得る。

$$ \begin{align*} \log(e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}}) &= \log \left( I + \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) \right) \\ &= \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \left\| \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) \right\|^{2} \right) \\ &= \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) \end{align*} $$

両辺に指数を取ると（実数で定義される指数関数と異なり上の条件が成り立つため可能である点に注意）、

$$ e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}} = \exp \left( \dfrac{X}{m} + \dfrac{Y}{m} + O \left( \dfrac{1}{m^{2}} \right) \right) $$

$$ \implies (e^{\frac{X}{m}} e^{\frac{Y}{m}})^{m} = \exp \left(X + Y + O \left( \dfrac{1}{m} \right) \right) $$

ここで $m \to \infty$ の極限を取ると、 $\exp$ が連続であるので、

$$ \lim\limits_{m \to \infty} (e^{{\frac{X}{m}}} e^{{\frac{Y}{m}}})^{m} = \exp \left(X + Y\right) = e^{X+ Y} $$

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