すべての可逆行列は行列指数形式で表される
定理
任意の可逆行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$はある $X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$の行列指数の形で表される。
$$ A = e^{X} \quad \text{for some } X \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) $$
証明
$A$を可逆行列とする。すると $A$のすべての固有値は $0$ではない。 また行列 $A$は以下のようなブロック対角行列に分解できる。
$$ A = \begin{bmatrix} \lambda_{1} I + N_{1} & O & \cdots & O \\ O & \lambda_{2} I + N_{2} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & \lambda_{k} I + N_{k} \end{bmatrix} $$
このとき $N_{i}$は冪零行列である。$\lambda_{i} \ne 0$であるから各対角ブロックを $\lambda_{i}(I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})$ のように表す。括弧内の行列はユニポテント行列であるため、$I + \lambda_{i}^{-1}N_{i} = e^{\log (I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})}$が成り立つ。また $\lambda_{i} = e^{\mu_{i}}$とすれば、$\lambda_{i} I = e^{\mu_{i}I}$が成り立つ。 したがって $A$は次のとおりである。
$$ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} e^{\mu_{1}I} e^{\log (I + \lambda_{1}^{-1}N_{1})} & O & \cdots & O \\ O & e^{\mu_{2}I} e^{\log (I + \lambda_{2}^{-1}N_{2})} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & e^{\mu_{k}I} e^{\log (I + \lambda_{k}^{-1}N_{k})} \end{bmatrix} \\[3em] &= \begin{bmatrix} e^{\mu_{i}I + \log (I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})} & O & \cdots & O \\ O & e^{\mu_{i}I + \log (I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & e^{\mu_{k}I + \log (I + \lambda_{k}^{-1}N_{k})} \end{bmatrix} \end{align*} $$
ここで $X_{i} = \mu_{i}I + \log (I + \lambda_{i}^{-1}N_{i})$とする。すると次が成り立つ。
$$ A = \diag(e^{X_{1}}, e^{X_{2}}, \dots, e^{X_{k}}) = e^{\diag(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{k})} $$
よって、$X = \diag(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{k})$とおけば次を得る。
$$ A = e^{X} $$
■