📂行列代数

すべての行列は対角化可能な行列の数列の極限である

定理¹

すべての 行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に対して、$A$ に 収束 する 対角化可能な行列の数列が存在する。

証明

$A$ が対角化可能なら 自明である から、$A$ は対角化不可能であると仮定する。すべての行列は 上三角行列と相似 であるから、次を満たす 可逆行列 $S$ と 上三角行列 $T$ が存在する。

$$ A = S^{-1}TS, \qquad T = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & * & \cdots & * \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} $$

ここで $\lambda_{i}$ は ($A$ が対角化不可能であるため) 重複を含む $A$ の固有値である。今、対角行列 $D_{k} = \diag(0, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdots, \frac{n-1}{k})$ を定義する。さらに $T_{k} = T+D_{k}$ とすると、$T_{k}$ は $n$ 個の互いに異なる対角成分(=固有値) を持ち、対角化可能である。$A_{k} = S^{-1} T_{k} S$ とすると、$A_{k}$ は対角化可能であり $A$ に収束する。

$$ \begin{align*} \| A_{k} - A \| &= \| S^{-1} T_{k} S - S^{-1}TS \| \\ &= \| S^{-1}(T_{k}-T)S \| \\ &\le \| S^{-1} \| \| T_{k}-T \| \| S \| \to 0 \text{ as } k \to \infty \end{align*} $$

不等式は 行列ノルムの性質 $\| A B \| \le \| A \| \| B \|$ によって成立する。

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