📂微分積分学

対数関数のテイラー級数

公式¹

対数関数のテイラー級数は次のとおりである。

$$ \log (1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}, \qquad |x| \lt 1 $$

説明

$x$は複素数の場合でも成り立つ。変数を適切に置換すると次のようになる。

$$ \log z = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1} (z-1)^{n}}{n}, \qquad |z - 1| \lt 1 $$

導出

$|t| \lt 1$のとき、$\dfrac{1}{1+t}$は等比級数の極限値である。

$$ \dfrac{1}{1+t} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-t)^{n}, \qquad |t| \lt 1 $$

上の級数は $|t| \lt 1$ において絶対収束する。したがって $|t| \lt 1$ において積分と極限の順序を交換できる。

$$ \int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+t}dt = \int_{0}^{x} \sum\limits_{n=0}^\infty (-t)^n dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int_{0}^{x} (-t)^n dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n} x^{n+1}}{n+1} $$

一方、左辺は対数関数の微分法により対数関数である。

$$ \int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+t}dt = \log (1+x) $$

したがって

$$ \log (1+x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n} x^{n+1}}{n+1} = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}, \qquad |x| \lt 1 $$

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