📂表現論

リ部分代数

定義¹

リー代数 $\mathfrak{g}$の部分空間 $\mathfrak{h}$が $\mathfrak{g}$のブラケット $[\cdot, \cdot]$について閉じているなら、 $\mathfrak{h}$を $\mathfrak{g}$の リー部分代数^{Lie subalgebra}とする。

$$ \text{部分空間 $\mathfrak{h}$ は $\mathfrak{g}$,$\quad$ のリー部分代数である もし } [H_{1}, H_{2}] \in \mathfrak{h} \quad \forall H_{1}, H_{2} \in \mathfrak{h} $$

イデアル

部分代数 $\mathfrak{h}$が次を満たすなら、 $\mathfrak{g}$のイデアルとする。

$$ [X, H] \in \mathfrak{h} \quad \forall X \in \mathfrak{g}, \forall H \in \mathfrak{h} $$

集合で表すと、

$$ [\mathfrak{g}, \mathfrak{h}] \subset \mathfrak{h} $$

中心

リー代数 $\mathfrak{g}$の積に関して、すべての $\mathfrak{g}$の元と可換な元の集合を $\mathfrak{g}$の中心とする。

$$ \text{center} = \left\{ X \in \mathfrak{g} : [X, Y] = 0, \quad \forall Y \in \mathfrak{g} \right\} $$

性質

(a) $\mathfrak{g}$をリー代数とする。$\mathfrak{g}$の中心は $\mathfrak{g}$のイデアルである。

$G$と $H \subset G$を行列リー群とする。すると $H$のリー代数 $\mathfrak{h}$は $G$のリー代数 $\mathfrak{g}$の部分代数である。

(b) $H$が $G$の正規部分群であれば、 $\mathfrak{h}$は $\mathfrak{g}$のイデアルである。